Question

15．感知：如圖1，AD平分∠BAC．∠B+∠C=180°，∠B=90°，易知：DB=DC．
探究：如圖2，AD平分∠BAC，∠ABD+∠ACD=180°，∠ABD＜90°，求證：DB=DC．
應(yīng)用：如圖3，四邊形ABCD中，∠B=45°，∠C=135°，DB=DC=a，則AB-AC=$\sqrt{2}$a（用含a的代數(shù)式表示）

Answer 1

分析 探究：欲證明DB=DC，只要證明△DFC≌△DEB即可．
應(yīng)用：先證明△DFC≌△DEB，再證明△ADF≌△ADE，結(jié)合BD=$\sqrt{2}$EB即可解決問題．

解答 探究：
證明：如圖②中，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∵DA平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，
∵∠B+∠ACD=180°，∠ACD+∠FCD=180°，
∴∠B=∠FCD，
在△DFC和△DEB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠F=∠DEB}\\{∠FCD=∠B}\\{DF=DE}\end{array}\right.$，
∴△DFC≌△DEB，
∴DC=DB．
應(yīng)用：解；如圖③連接AD、DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∵∠B+∠ACD=180°，∠ACD+∠FCD=180°，
∴∠B=∠FCD，
在△DFC和△DEB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠F=∠DEB}\\{∠FCD=∠B}\\{DC=DB}\end{array}\right.$，
∴△DFC≌△DEB，
∴DF=DE，CF=BE，
在Rt△ADF和Rt△ADE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AD}\\{DE=DF}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△ADE，
∴AF=AE，
∴AB-AC=（AE+BE）-（AF-CF）=2BE，
在RT△DEB中，∵∠DEB=90°，∠B=∠EDB=45°，BD=a，
∴BE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，
∴AB-AC=$\sqrt{2}$a．
故答案為$\sqrt{2}$a．

點(diǎn)評(píng) 本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形，屬于中考�？碱}型．