Question

16．如圖，在一張矩形紙片ABCD中，AB=4，BC=8，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在A(yíng)D，BC上，將紙片ABCD沿直線(xiàn)EF折疊，點(diǎn)C落在A(yíng)D上的一點(diǎn)H處，點(diǎn)D落在點(diǎn)G處，有以下四個(gè)結(jié)論：
①四邊形CFHE是菱形；②線(xiàn)段BF的取值范圍為3≤BF≤4；
③EC平分∠DCH；④當(dāng)點(diǎn)H與點(diǎn)A重合時(shí)，EF=2$\sqrt{5}$
以上結(jié)論中，你認(rèn)為正確的有①②④．（填序號(hào)）

Answer 1

分析 ①先判斷出四邊形CFHE是平行四邊形，再根據(jù)翻折的性質(zhì)可得CF=FH，然后根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形是菱形證明，判斷出①正確；
②點(diǎn)H與點(diǎn)A重合時(shí)，設(shè)BF=x，表示出AF=FC=8-x，利用勾股定理列出方程求解得到BF的最小值，點(diǎn)G與點(diǎn)D重合時(shí)，CF=CD，求出BF=4，然后寫(xiě)出BF的取值范圍，判斷出②正確；
③根據(jù)菱形的對(duì)角線(xiàn)平分一組對(duì)角線(xiàn)可得∠BCH=∠ECH，然后求出只有∠DCE=30°時(shí)EC平分∠DCH，判斷出③錯(cuò)誤；
④過(guò)點(diǎn)F作FM⊥AD于M，求出ME，再利用勾股定理列式求解得到EF，判斷出④正確．

解答 解：①∵FH與EG，EH與CF都是原來(lái)矩形ABCD的對(duì)邊AD、BC的一部分，
∴FH∥CG，EH∥CF，
∴四邊形CFHE是平行四邊形，
由翻折的性質(zhì)得，CF=FH，
∴四邊形CFHE是菱形，
故①正確；
②點(diǎn)H與點(diǎn)A重合時(shí)，設(shè)BF=x，則AF=FC=8-x，
在Rt△ABF中，AB²+BF²=AF²，
即4²+x²=（8-x）²，
解得x=3，
點(diǎn)G與點(diǎn)D重合時(shí)，CF=CD=4，
∴BF=4，
∴線(xiàn)段BF的取值范圍為3≤BF≤4，
故②正確；
③∴∠BCH=∠ECH，
∴只有∠DCE=30°時(shí)EC平分∠DCH，
故③錯(cuò)誤；
過(guò)點(diǎn)F作FM⊥AD于M，
則ME=（8-3）-3=2，
由勾股定理得，
EF=$\sqrt{M{F}^{2}+M{E}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
故④正確．
綜上所述，結(jié)論正確的有①②④．
故答案為：①②④．

點(diǎn)評(píng) 此題是四邊形綜合題，主要考查了折疊問(wèn)題與菱形的判定與性質(zhì)、勾股定理的綜合應(yīng)用，熟練掌握菱形的判定定理和性質(zhì)定理、勾股定理是解本題的關(guān)鍵．