Question

18．如圖，在正方形ABCD的邊CD上取一點(diǎn)P，使AP=PC+CB，M是DC的中點(diǎn)．求證：∠MAD=$\frac{1}{2}$∠BAP．

Answer 1

分析 作∠BAC的平分線交BC于M，交DC的延長(zhǎng)線于F，由AAS證明△ABE≌△ANE，得出BE=NE，AB=AN，進(jìn)而由HL證明Rt△PEN≌Rt△PEC，得出NE=CE，再由SAS證明△ABE≌△ADM，得出∠MAD=∠BAE，即可得出結(jié)論．

解答 證明：作∠BAP的平分線交BC于E，作EN⊥AP于N，連接EP，如圖所示：
∵AF是∠BAP的平分線，EN⊥AP，
∴∠BAE=∠EAP，∠B=∠ANE=90°，
在△ABE和△ANE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAE=∠EAP}&{\;}\\{∠B=∠ANE}&{\;}\\{AE=AE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ANE（AAS），
∴BE=NE，AB=AN，
∵AP=PC+CB=PC+AB，
又AP=AN+NP=AB+NP
∴NP=PC，
在Rt△PEN和Rt△PEC中，
$\left\{\begin{array}{l}{PE=PE}\\{PN=PC}\end{array}\right.$，
∴Rt△PEN≌Rt△PEC（HL），
∴NE=CE，
∴BE=CE，
∴BE=DM，
在△ABE和△ADM中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}&{\;}\\{∠B=∠D}&{\;}\\{BE=DM}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ADM（SAS），
∴∠MAD=∠BAE，
∴∠MAD=$\frac{1}{2}$∠BAP．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握正方形的性質(zhì)，通過(guò)作輔助線證明三角形全等是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．