Question

17．如圖，長方形OABC的邊OA在x軸正半軸上，邊OC在y軸正半軸上，B點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，3）．長方形O'A'BC'是長方形OABC繞B點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到的．O'點(diǎn)恰好在x軸的正半軸上，O'C'交AB于點(diǎn)D．
（1）求證：O'A=O'A'，并求點(diǎn)O'的坐標(biāo)．（提示：連接BO、BO'）
（2）求邊C'O'所在直線的解析式．
（3）延長BA到M使AM=1，在（2）中求得的直線上是否存在點(diǎn)P，使得△POM是以線段OM為直角邊的直角三角形？若存在，請直接寫出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）連接OB，O′B，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得OB=O′B，再根據(jù)矩形的性質(zhì)BA⊥OA，再根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得AO=AO′，然后根據(jù)點(diǎn)B的坐標(biāo)求出AO的長度，再得到AO′的長度，點(diǎn)O′的坐標(biāo)即可得到；
（2）設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)是（1，a），表示出O′D的長度，然后利用勾股定理列式求出a的值，從而得到點(diǎn)D的坐標(biāo)，再根據(jù)待定系數(shù)法列式即可求出直線C′O′的解析式；
（3）根據(jù)AM=1可得△AOM是等腰直角三角形，然后分①PM是另一直角邊，∠PMA=45°，②PO是另一直角邊，∠POA=45°兩種情況列式進(jìn)行計(jì)算即可得解．

解答 解：（1）如圖，連接OB，O′B，則OB=O′B，
∵四邊形OABC是矩形，
∴BA⊥OA，
∴AO=AO′，
∵B點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，3），
∴OA=1，
∴AO′=1，
∴點(diǎn)O′的坐標(biāo)是（2，0）；

（2）設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，a），則AD=a，
∵點(diǎn)B的坐標(biāo)是（1，3），
∴O′D=3-a，
在Rt△ADO′中，AD²+AO′²=O′D²，
∴a²+1²=（3-a）²，
解得a=$\frac{4}{3}$，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，$\frac{4}{3}$），
設(shè)直線C′O′的解析式為y=kx+b，
則$\left\{\begin{array}{l}{2k+b=0}\\{k+b=\frac{4}{3}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{4}{3}}\\{b=\frac{8}{3}}\end{array}\right.$，
∴邊C′O′所在直線的解析式：y=-$\frac{4}{3}$x+$\frac{8}{3}$；

（3）∵AM=1，AO=1，且AM⊥AO，
∴△AOM是等腰直角三角形，
①PM是另一直角邊時(shí)，∠PMA=45°，
∴PA=AM=1，點(diǎn)P與點(diǎn)O′重合，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是（2，0），
②PO是另一直角邊，∠POA=45°，則PO所在的直線為y=x，
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{4}{3}x+\frac{8}{3}}\\{y=x}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{8}{7}}\\{y=\frac{8}{7}}\end{array}\right.$，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為P（2，0）或（$\frac{8}{7}$，$\frac{8}{7}$）．

點(diǎn)評 本題是對四邊形的綜合考查，主要有矩形的性質(zhì)，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，勾股定理等，綜合性較強(qiáng)，難度中等，需仔細(xì)分析細(xì)心計(jì)算．