Question

4．已知直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別為6cm，8cm，則直角的角平分線長(zhǎng)為$\frac{24}{7}\sqrt{2}$cm．

Answer 1

分析 首先根據(jù)角平分線的性質(zhì)，判斷出DF=EF；然后根據(jù)相似三角形判定的方法，判斷出△ADF∽△FEC，即可判斷出$\frac{AD}{EF}=\frac{DF}{CE}$，據(jù)此求出x的值是多少，進(jìn)而求出直角的角平分線長(zhǎng)為多少即可．

解答 解：如圖1，作FD⊥AB，F(xiàn)E⊥BC，，
Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=8cm，BC=6cm，BF是∠ABC的平分線，
∵BF是∠ABC的平分線，F(xiàn)D⊥AB，F(xiàn)E⊥BC，
∴DF=EF，
∵∠ABC=90°，BF是∠ABC的平分線，
∴∠DBF=∠EBF=45°，
∴BD=DF，BE=EF，
∵∠A+∠C=90°，∠A+∠AFD=90°，
∴∠C=∠AFD，
在△ADF和△FEC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠C=∠AFD}\\{∠ADF=∠FEC=90°}\end{array}\right.$
∴△ADF∽△FEC，
∴$\frac{AD}{EF}=\frac{DF}{CE}$，
設(shè)BD=DF=BE=EF=x，
則AD=8-x，CE=6-x，
∴$\frac{8-x}{x}=\frac{x}{6-x}$，
∴x²=（8-x）（6-x）
解得x=$\frac{24}{7}$，
∴BF=BD×$\sqrt{2}$=$\frac{24}{7}\sqrt{2}$（cm），
即直角的角平分線長(zhǎng)為$\frac{24}{7}\sqrt{2}$cm．
故答案為：$\frac{24}{7}\sqrt{2}$cm．

點(diǎn)評(píng) （1）此題主要考查了三角形相似的判定和性質(zhì)的應(yīng)用，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：①三邊法：三組對(duì)應(yīng)邊的比相等的兩個(gè)三角形相似；②兩邊及其夾角法：兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等且夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似；③兩角法：有兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似．
（2）此題主要考查了角平分線的性質(zhì)和應(yīng)用，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等．