Question

如圖，在平面直角坐標系中，已知OA=2，OC=4，⊙M與軸相切于點C，與軸交于A，B兩點，∠ACD=90°，拋物線經過A，B，C三點．

（1）求證：∠CAO=∠CAD；

（2）求弦BD的長；

（3）在拋物線的對稱軸上是否存在點P使ΔPBC是以BC為腰的等腰三角形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

 

 

Answer 1

（1）證明見解析；（2）8；（3），，，．

【解析】

試題分析：（1）利用切線的性質性質得出∠MCO=90°，進而得出∠OCA=∠MCD=∠MDC，再利用∠OCA+∠OAC=90°求出即可；

（2）利用圓周角定里以及平行線的性質，首先得出四邊形COMN為矩形，進而求出BD=2MN；

（3）分別利用當CP=CB時，△PCB為等腰三角形，當BP=BC時，△PCB為等腰三角形，利用勾股定理求出即可．

（1）證明：如圖1，連接MC，

∵⊙M與y軸相切于點C，∴CM⊥OC，

∴∠MCO=90°，

又∵∠ACD=90°

∴AD為⊙M的直徑，

∵DM=CM，∠ACD+∠ADC=90°

∴∠MCD=∠MDC，

∵∠OCA+∠ACM=∠OCM=90°

∴∠MCD+∠ACM=90°

∴∠OCA=∠MCD=∠MDC

∵∠OCA+∠OAC=90°

∴∠OAC=∠CAD；

（2）【解析】
如圖1，過點M作MN⊥OB于點N，

由（1）可知，AD是⊙M的直徑，

∴∠ABD=90°，

∵MN⊥AB，∴∠MNA=90°，

∴MN∥BD，

∴，

∵∠OCM=∠CON=∠MNO=90°，

∴四邊形COMN為矩形，

∴MN=CO=4，

∴BD=2MN=8；

（3）【解析】
拋物線的對稱軸上存在點P，使ΔPBC是以BC為腰的等腰三角形.

在⊙M中，弧AC=弧AC，∴∠ADC=∠ABC,

由（1）知，∠ADC=∠OCA,

∴∠OCA=∠OBC

在Rt△CAO和Rt△BOC中，

tan∠OCA=

∴tan∠OBC=

∴OB=2OC=8

∴A（2,0），B（8,0）

∵拋物線經過A，B兩點，

∴A，B關于拋物線的對稱軸對稱，其對稱軸為直線：；

當CP=CB=5時，△PCB為等腰三角形，

在Rt△COB中，

如圖，在Rt△CM中，

80－25=55

,

∴

同理可求的坐標是

當BP=BC=5時，△PCB為等腰三角形，

∴

同理可得坐標為

∴符合條件的點P有四個，坐標分別為，，，．

考點：二次函數綜合題．