Question

12．如圖．在正方形ABCD中，點E是BC邊上的中點，EF⊥AC于點F．連接DF并延長交BC于G．過F作FM⊥DG交CD于N，交BC的延長線于點M．
（1）求證：△FEG≌△FCN；
（2）猜想CG與EG的數量關系．并說明理由；
（3）若AB=6．求△FCM的面積．

Answer 1

分析 （1）先由正方形的性質得出，∠FEC=∠ECF=45°，進而得出EF=CF，即可得出結論；
（2）先判斷出△GHF∽△GCD得出$\frac{GH}{CG}=\frac{FH}{CD}$，再用等腰直角三角形的性質得出EC=2a，CD=4a，即可得出GH，即可得出結論；
（3）先判斷出△MFG≌△DFN，即可得出CM=CE，借助（2）的結論求出CM=3，FH=$\frac{3}{2}$，最后用三角形的面積公式即可得出結論．

解答 （1）證：∵AC是正方形的對角線，
∴∠ACD=∠ACB=45°，
∵EF⊥AC，
∴∠EFC=90°，
∴∠FEC=∠ECF=45°，
∴EF=CF，
∵∠CFE=∠GFN=90°，
∴∠EFG=∠CFN，
在△FEG和△FCN中，$\left\{\begin{array}{l}{∠FEG=∠FCN}\\{EF=CF}\\{∠EFG=∠CFN}\end{array}\right.$，
∴△FEG≌△FCN；

（2）解：CG=2EG，
理由：
如圖，過點F作FH⊥BC于H，
∴FH∥DC，
∴△GHF∽△GCD，
∴$\frac{GH}{CG}=\frac{FH}{CD}$，
設FH=a，
∴EH=CH=FN=a，
∴EC=2a，
∵E是正方形ABCD的邊BC中點，
∴CD=BC=2CE=4a，
∵CG=GH+CH=a+GH，
∴$\frac{GH}{a+GH}$=$\frac{1}{4}$，
∴GH=$\frac{1}{3}$a，
∴EG=EH-GH=a-$\frac{1}{3}$a=$\frac{2}{3}$a，CG=CH+GH=a+$\frac{1}{3}$a=$\frac{4}{3}$a，
∴CG=2EG；

（3）由（1）知，△FEG≌△FCN，
∴FG=FN，
在△MFG和△DFN中，$\left\{\begin{array}{l}{∠M=∠FDN}\\{∠MFG=∠DFN}\\{FG=FN}\end{array}\right.$，
∴△MFG≌△DFN，
∴MG=DN，
∴ME=CD=BC，
∵點E是BC的中點，
∴CM=CE，
設FH=a，
由（2）知，BC=4a，CE=2a，
∴CM=2a，
∵AB=6，
∴4a=6，
∴a=$\frac{3}{2}$，
∴FH=a=$\frac{3}{2}$，CM=2a=3，
∴S_△FCM=$\frac{1}{2}$CM•FH=$\frac{1}{2}$×3×$\frac{3}{2}$=$\frac{9}{4}$．

點評 此題是四邊形綜合題，主要考查了正方形的性質，等腰直角三角形的性質，全等三角形的判定和性質，相似三角形的判定和性質，三角形的面積公式，解（1）的關鍵是得出EF=CF，解（2）的關鍵是得出GH，解（3）的關鍵是判斷出△MFG≌△DFN，是一道很好的中考�？碱}．