Question

3．直線MN與直線PQ垂直相交于O，點A在射線OP上運動，點B 在射線OM上運動，如圖1，已知AC、BC分別是∠BAP和∠ABM角的平分線，
（1）點A、B在運動的過程中，∠ACB的大小是否發(fā)生變化？若發(fā)生變化，請說明理由；若不發(fā)生變化，試求出∠ACB的大�。�
（2）如圖2，將△ABC沿直線AB折疊，若點C落在直線PQ上，則∠ABO=30°；如圖3，將△ABC沿直線AB折疊，若點C落在直線MN上，則∠ABO=60°；
（3）如圖4，延長BA至G，已知∠BAO、∠OAG的角平分線與∠BOQ的角平分線及其延長線交于E、F，則∠EAF=90°；在△AEF中，如果有一個角是另一個角的$\frac{3}{2}$倍，求∠ABO的度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）由直線MN與直線PQ垂直相交于O，得到∠AOB=90°，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)得到∠PAB+∠ABM=270°，根據(jù)角平分線的定義得到∠BAC=$\frac{1}{2}$∠PAB，∠ABC=$\frac{1}{2}$∠ABM，于是得到結(jié)論；
（2）由于將△ABC沿直線AB折疊，若點C落在直線PQ上，得到∠CAB=∠BAQ，由角平分線的定義得到∠PAC=∠CAB，根據(jù)三角形的內(nèi)角和即可得到結(jié)論；根據(jù)將△ABC沿直線AB折疊，若點C落在直線MN上，得到∠ABC=∠ABN，由于BC平分∠ABM，得到∠ABC=∠MBC，于是得到結(jié)論；
（3）由∠BAO與∠BOQ的角平分線相交于E可知∠EAO=$\frac{1}{2}$∠BAO，∠EOQ=$\frac{1}{2}$∠BOQ，進而得出∠E的度數(shù)，由AE、AF分別是∠BAO和∠OAG的角平分線可知∠EAF=90°，在△AEF中，由一個角是另一個角的$\frac{3}{2}$倍分兩種情況進行分類討論．

解答 解：（1）∠ACB的大小不變，
∵直線MN與直線PQ垂直相交于O，
∴∠AOB=90°，
∴∠OAB+∠OBA=90°，
∴∠PAB+∠ABM=270°，
∵AC、BC分別是∠BAP和∠ABM角的平分線，
∴∠BAC=$\frac{1}{2}$∠PAB，∠ABC=$\frac{1}{2}$∠ABM，
∴∠BAC+∠ABC=$\frac{1}{2}$（∠PAB+∠ABM）=135°，
∴∠ACB=45°；
（2）∵將△ABC沿直線AB折疊，若點C落在直線PQ上，
∴∠CAB=∠BAQ，
∵AC平分∠PAB，
∴∠PAC=∠CAB，
∴∠PAC=∠CAB=∠BAO=60°，
∵∠AOB=90°，
∴∠ABO=30°，
∵將△ABC沿直線AB折疊，若點C落在直線MN上，
∴∠ABC=∠ABN，
∵BC平分∠ABM，
∴∠ABC=∠MBC，
∴∠MBC=∠ABC=∠ABN，
∴∠ABO=60°，
故答案為：30°，60°；
（3）∵∠BAO與∠BOQ的角平分線相交于E，
∴∠EAO=$\frac{1}{2}$∠BAO，∠EOQ=$\frac{1}{2}$∠BOQ，
∴∠E=∠EOQ-∠EAO=$\frac{1}{2}$（∠BOQ-∠BAO）=$\frac{1}{2}$∠ABO，
∵AE、AF分別是∠BAO和∠OAG的角平分線，
∴∠EAF=90°．  
在△AEF中，
∵有一個角是另一個角的$\frac{3}{2}$倍，故有：
①∠EAF=$\frac{3}{2}$∠F，∠E=30°，∠ABO=60°；
②∠F=$\frac{3}{2}$∠E，∠E=36°，∠ABO=72°；
∴∠ABO為60°或72°．

點評 本題考查了翻折變換-折疊問題，三角形內(nèi)角和定理，熟知三角形內(nèi)角和是180°是解答此題的關(guān)鍵．