Question

【題目】如圖，在中，，，的重直平分線交，于點，.

（1）求證：；

（2）當時，求的面積.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】

(1)首先連接BE，由在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，可求得∠ABC的度數(shù)，又由AB的垂直平分線交AB于點D，交AC于點E，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，可得AE=BE，繼而可求得∠CBE的度數(shù)，然后由含30°角的直角三角形的性質(zhì)，證得AE=2CE．(2) △ADE中，∠ADE=90°，∠A=30°，,推出AE=2，從而求出AC的長，再根據(jù)勾股定理求出BC的長，即可求出的面積.

如圖，連接BE，

∵在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，

∴∠ABC=90°-∠A=60°，

∵DE是AB的垂直平分線，

∴AE=BE，

∴∠ABE=∠A=30°，

∴∠CBE=∠ABC-∠ABE=30°，

在Rt△BCE中，BE=2CE，

∴AE=2CE．

(2)∵△ADE中，∠ADE=90°，∠A=30°，，∴AE=2，

∵，∴CE=1，AC=3，

設(shè)BC=x，則AB=2x，

∴

∴BC= ，

∴.