Question

5．若整數(shù)a能被整數(shù)b整除，則一定存在整數(shù)n，使得$\frac{a}=n$，即a=bn．例如若整數(shù)a能被整數(shù)3整除，則一定存在整數(shù)n，使得$\frac{a}{3}=n$，即a=3n．
（1）若一個(gè)多位自然數(shù)的末三位數(shù)字所表示的數(shù)與末三位數(shù)以前的數(shù)字所表示的數(shù)之差（大數(shù)減小數(shù)）能被13整除，那么原多位自然數(shù)一定能被13整除．例如：將數(shù)字306371分解為306和371，因?yàn)?71-306=65，65是13的倍數(shù)，所以306371能被13整除．請(qǐng)你證明任意一個(gè)四位數(shù)都滿足上述規(guī)律．
（2）如果一個(gè)自然數(shù)各數(shù)位上的數(shù)字從最高位到個(gè)位僅有兩個(gè)數(shù)交替排列組成，那么我們把這樣的自然數(shù)叫做“擺動(dòng)數(shù)”，例如：自然數(shù)12121212從最高位到個(gè)位是由1和2交替出現(xiàn)組成，所以12121212是“擺動(dòng)數(shù)”，再如：656，9898，37373，171717，…，都是“擺動(dòng)數(shù)”，請(qǐng)你證明任意一個(gè)6位擺動(dòng)數(shù)都能被13整除．

Answer 1

分析 （1）設(shè)一個(gè)四位數(shù)的末三位數(shù)為B，末三位數(shù)以前的數(shù)為A，根據(jù)題意可得A=13n+B，即這個(gè)四位數(shù)是1000（13n+B）+B=13（1000n+77B），可得；
（2）設(shè)任意一個(gè)6位擺動(dòng)數(shù)的十位數(shù)字為a、個(gè)位數(shù)字為b，表示出末三位數(shù)為100b+10a+b，末三位數(shù)以前的數(shù)為100a+10b+a，將二者相減分解出因數(shù)13可得．

解答 解：（1）設(shè)一個(gè)四位數(shù)的末三位數(shù)為B，末三位數(shù)以前的數(shù)為A，
則這個(gè)四位數(shù)為：1000A+B，
由題意：A-B=13n（n為整數(shù)），
∴A=13n+B，
從而1000A+B=1000（13n+B）+B
=13000n+1001B
=13（1000n+77B），
∴這個(gè)四位數(shù)能被13整除
∴任意一個(gè)四位數(shù)都滿足上述規(guī)律；
（2）設(shè)任意一個(gè)6位擺動(dòng)數(shù)的十位數(shù)字為a，個(gè)位數(shù)字為b，
所以這個(gè)6位擺動(dòng)數(shù)的末三位數(shù)為：100b+10a+b，
末三位數(shù)以前的數(shù)為：100a+10b+a，
∵100a+10b+a-（100b+10a+b）=91a-91b=13（7a-7b）
∴這個(gè)6位擺動(dòng)數(shù)的末三位數(shù)以前的數(shù)與末三位數(shù)之差能被13整除，
∴任意一個(gè)6位擺動(dòng)數(shù)能被13整除．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了數(shù)的整除性，根據(jù)題意用未知數(shù)表示出各數(shù)是解題關(guān)鍵．