Question

10．四邊形ABCD、AEFG都是正方形，當正方形AEFG繞點A逆時針旋轉45°時，如圖，連接DG、BE，并延長BE交DG于點H，且BH⊥DG與H，若AB=4，AE=$\sqrt{2}$時，則線段BH的長是（　　）

• A． $4\sqrt{2}$
• B． 16
• C． $\frac{{8\sqrt{10}}}{5}$
• D． $\frac{{3\sqrt{10}}}{2}$

Answer 1

分析 連結GE交AD于點N，連結DE，由于正方形AEFG繞點A逆時針旋轉45°，AF與EG互相垂直平分，且AF在AD上，由AE=$\sqrt{2}$可得到AN=GN=1，所以DN=4-1=3，然后根據(jù)勾股定理可計算出DG=$\sqrt{10}$，則BE=$\sqrt{10}$，解著利用S_△DEG=$\frac{1}{2}$GE•ND=$\frac{1}{2}$DG•HE可計算出HE，所以BH=BE+HE．

解答 解：連結GE交AD于點N，連結DE，如圖，

∵正方形AEFG繞點A逆時針旋轉45°，
∴AF與EG互相垂直平分，且AF在AD上，
∵AE=$\sqrt{2}$，
∴AN=GN=1，
∴DN=4-1=3，
在Rt△DNG中，DG=$\sqrt{D{N}^{2}+G{N}^{2}}$=$\sqrt{10}$；
由題意可得：△ABE相當于逆時針旋轉90°得到△AGD，
∴DG=BE=$\sqrt{10}$，
∵S_△DEG=$\frac{1}{2}$GE•ND=$\frac{1}{2}$DG•HE，
∴HE=$\frac{6}{\sqrt{10}}$=$\frac{3\sqrt{10}}{5}$，
∴BH=BE+HE=$\frac{3\sqrt{10}}{5}$+$\sqrt{10}$=$\frac{8\sqrt{10}}{5}$．
故選：C．

點評 本題考查了旋轉及正方形的性質，解題的關鍵是會運用勾股定理和等腰直角三角形的性質進行幾何計算．