Question

10．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，P是射線AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，從點(diǎn)A出發(fā)向AC方向運(yùn)動(dòng)，Q是射線BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且始終有BQ=$\frac{1}{2}$PC，連接PQ，以PQ為邊向一側(cè)作矩形DEPQ（如圖所示），PE=$\frac{2}{3}$PQ．
（1）若點(diǎn)P在線段AC上，當(dāng)△PCQ的面積等于8時(shí)，求CP的長；
（2）作點(diǎn)P關(guān)于斜邊中線CF的對稱點(diǎn)P′，當(dāng)點(diǎn)P′落在PQ上時(shí)，直接寫出FD的長$\frac{3\sqrt{185}}{11}$．

Answer 1

分析 （1）先設(shè)出BQ=x，得出PC=2x，CQ=6-x最后用三角形的面積公式建立方程求解即可．
（2）先建立直角坐標(biāo)系，確定出點(diǎn)F（3，4），進(jìn)而得出tan∠FAH=$\frac{4}{3}$，利用同角的余角相等以及三角函數(shù)得出PC，CQ，再用相似三角形的性質(zhì)求出QG，DG，即可得出D的坐標(biāo)，最后兩點(diǎn)間的距離公式求解即可．

解答 解：（1）設(shè)BQ=x，
∵BQ=$\frac{1}{2}$PC，
∴PC=2x，
∵BC=6，
∴CQ=6-x，
∵△PCQ的面積等于8，
∴S_△PCQ=$\frac{1}{2}$CQ×PC=$\frac{1}{2}$×（6-x）×2x=8，
∴x=2或x=4，
∴PC=2x=4或PC=8．
（2）以點(diǎn)C為原點(diǎn)，BC為x軸，AC為y軸建立直角坐標(biāo)系，
∵AC=8，BC=6，
∴A（0，8），B（6，0），
∵CF是斜邊的中線，
∴F（3，4），過點(diǎn)F作FH⊥BC，
∴FH=4，CH=3，
∴tan∠FCH=$\frac{FH}{CH}$=$\frac{4}{3}$，
∵點(diǎn)P關(guān)于斜邊中線CF的對稱點(diǎn)P′，當(dāng)點(diǎn)P′落在PQ上時(shí)，
∴PQ⊥CF，
∴∠FCQ+∠PQC=90°，
∵∠PQC+∠CPQ=90°，
∴∠FCQ=∠CPQ，
∴tan∠CPQ=$\frac{CQ}{PC}$=$\frac{4}{3}$，
∴CQ=$\frac{4}{3}$PC，
∵BQ=$\frac{1}{2}$PC，
∴CQ=$\frac{8}{3}$BQ，
∵CQ+BQ=6，
∴$\frac{8}{3}$BQ+BQ=6，
∴BQ=$\frac{18}{11}$，
∴PC=2BQ=$\frac{36}{11}$，CQ=6-BQ=$\frac{48}{11}$，
∵∠PQD=90°，
∴∠PQC+∠DQG=90°，
∵∠PQC+∠CPQ=90°，
∴∠CPQ=∠DQG，
∵∠PCQ=∠QGD=90°，
∴△PCQ∽△QGD，
∴$\frac{PC}{QG}=\frac{CQ}{DG}=\frac{PQ}{DQ}$，
∵四邊形DEPQ是矩形，
∴DQ=PE=$\frac{2}{3}$PQ．
∴$\frac{\frac{36}{11}}{QG}=\frac{\frac{48}{11}}{DG}=\frac{3}{2}$，
∴QG=$\frac{24}{11}$，DG=$\frac{32}{11}$，
∴CG=CQ+QG=$\frac{48}{11}$+$\frac{24}{11}$=$\frac{72}{11}$，
∴D（$\frac{72}{11}$，$\frac{32}{11}$），
∵F（3，4）
∴DF=$\sqrt{（\frac{72}{11}-3）^{2}+（\frac{32}{11}-4）^{2}}$=$\frac{3\sqrt{185}}{11}$
故答案為：$\frac{3\sqrt{185}}{11}$．

點(diǎn)評 此題是四邊形綜合題，主要考查了三角形的面積，對稱，相似三角形的性質(zhì)和判定，直角坐標(biāo)系的建立，解本題的關(guān)鍵是判斷出，△PCQ∽△QGD，難點(diǎn)是建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系．