Question

8．如圖，已知DE⊥AB垂足為E，DF⊥AC垂足為F，BD=CD，BE=CF．
（1）求證：AD平分∠BAC；
（2）丁丁同學(xué)觀察圖形后得出結(jié)論：AB+AC=2AE，請(qǐng)你幫他寫(xiě)出證明過(guò)程．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)HL定理求出Rt△BED≌Rt△CFD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出DE=DF，根據(jù)角平分線性質(zhì)得出即可；
（2）證Rt△AED≌Rt△AFD，根據(jù)全等得出AE=AF，即可求出答案．

解答 證明：（1）∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠E=∠DFC=90°，
在Rt△BED和Rt△CFD中，
$\left\{\begin{array}{l}{BD=CD}\\{BE=CF}\end{array}\right.$，
∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），
∴DE=DF，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠EAD=∠CAD，
∴AD平分∠BAC；

（2）∵∠E=∠AFD=90°，
在Rt△AED和Rt△AFD中
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AD}\\{DE=DF}\end{array}\right.$，
∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL），
∴AE=AF，
∵BE=CF，
∴AB+AC=AE-BE+AF+CF=AE-CF+AE+CF=2AE．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，角平分線性質(zhì)的應(yīng)用，能正確根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)定理進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．