Question

10．如圖，已知二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象過A（2，0），B（-2，2）和C（4，5）三點(diǎn)．
（1）求二次函數(shù)的解析式；
（2）設(shè)二次函數(shù)的圖象與x軸的另一個交點(diǎn)為D，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（3）在同一坐標(biāo)系中畫出直線y=x+1與二次函數(shù)y=ax²+3x+c相交，寫出當(dāng)x在什么范圍內(nèi)時，一次函數(shù)的值大于二次函數(shù)的值．

Answer 1

分析 （1）把A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)代入可求得a、b、c的值，可求得二次函數(shù)的解析式；
（2）令y=0，可得到x的一元二次方程，可求得D點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）聯(lián)立二次函數(shù)和一次函數(shù)解析式可求得其交點(diǎn)坐標(biāo)，當(dāng)一次函數(shù)直大于二次函數(shù)的值時，則一次函數(shù)的圖象在二次函數(shù)圖象上方，由圖象可直接寫出x所滿足的范圍．

解答 解：（1）把A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線解析式可得
$\left\{\begin{array}{l}{0=4a+2b+c}\\{2=4a-2b+c}\\{5=16a+4b+c}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{2}}\\{b=-\frac{1}{2}}\\{c=-1}\end{array}\right.$．
∴拋物線解析式為y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{1}{2}$x-1；
（2）在y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{1}{2}$x-1中，令y=0可得0=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{1}{2}$x-1，解得x=2或x=-1，
∴D點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，0）；
（3）由（1）可知a=$\frac{1}{2}$，c=-1，
∴二次函數(shù)解析式為y=$\frac{1}{2}$x²+3x-1，
聯(lián)立一次函數(shù)和二次函數(shù)解析式可得$\left\{\begin{array}{l}{y=x+1}\\{y=\frac{1}{2}{x}^{2}+3x-1}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{x=-2+\sqrt{2}}\\{y=-1+\sqrt{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-2-\sqrt{2}}\\{y=-1-\sqrt{2}}\end{array}\right.$，
又∵二次函數(shù)開口向上，
∴當(dāng)x在兩交點(diǎn)之間時，一次函數(shù)值大于二次函數(shù)值，
∴當(dāng)-2-$\sqrt{2}$＜x＜-2+$\sqrt{2}$時，一次函數(shù)值大于二次函數(shù)值．

點(diǎn)評 本題主要考查待定系數(shù)法求函數(shù)解析式和函數(shù)的交點(diǎn)問題，在（1）中求出二次函數(shù)的解析式是解決（2）、（3）的關(guān)鍵，在（3）中注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．