Question

9．已知點(diǎn)P在一次函數(shù)y=kx+b（k，b為常數(shù)，且k＜0，b＞0）的圖象上，將點(diǎn)P向左平移1個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位得到點(diǎn)Q，點(diǎn)Q也在該函數(shù)y=kx+b的圖象上．
（1）k的值是-2；
（2）如圖，該一次函數(shù)的圖象分別與x軸、y軸交于A，B兩點(diǎn)，且與反比例函數(shù)y=$\frac{-4}{x}$圖象交于C，D兩點(diǎn)（點(diǎn)C在第二象限內(nèi)），過點(diǎn)C作CE⊥x軸于點(diǎn)E，記S₁為四邊形CEOB的面積，S₂為△OAB的面積，若$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$=$\frac{7}{9}$，則b的值是3$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 （1）設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，根據(jù)平移的特性寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，由點(diǎn)P、Q均在一次函數(shù)y=kx+b（k，b為常數(shù)，且k＜0，b＞0）的圖象上，即可得出關(guān)于k、m、n、b的四元一次方程組，兩式做差即可得出k值；
（2）根據(jù)BO⊥x軸，CE⊥x軸可以找出△AOB∽△AEC，再根據(jù)給定圖形的面積比即可得出$\frac{AO}{AE}=\frac{BO}{CE}=\frac{3}{4}$，根據(jù)一次函數(shù)的解析式可以用含b的代數(shù)式表示出來線段AO、BO，由此即可得出線段CE、AE的長度，利用OE=AE-AO求出OE的長度，再借助于反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義即可得出關(guān)于b的一元二次方程，解方程即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，n），則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（m-1，n+2），
依題意得：$\left\{\begin{array}{l}{n=km+b}\\{n+2=k（m-1）+b}\end{array}\right.$，
解得：k=-2．
故答案為：-2．
（2）∵BO⊥x軸，CE⊥x軸，
∴BO∥CE，
∴△AOB∽△AEC．
又∵$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$=$\frac{7}{9}$，
∴$\frac{{S}_{△AOB}}{{S}_{△AEC}}$=$\frac{9}{7+9}$=$\frac{9}{16}$．
令一次函數(shù)y=-2x+b中x=0，則y=b，
∴BO=b；
令一次函數(shù)y=-2x+b中y=0，則0=-2x+b，
解得：x=$\frac{2}$，即AO=$\frac{2}$．
∵△AOB∽△AEC，且$\frac{{S}_{△AOB}}{{S}_{△AEC}}$=$\frac{9}{16}$，
∴$\frac{AO}{AE}=\frac{BO}{CE}=\frac{3}{4}$．
∴AE=$\frac{4}{3}$AO=$\frac{2}{3}$b，CE=$\frac{4}{3}$BO=$\frac{4}{3}$b，OE=AE-AO=$\frac{1}{6}$b．
∵OE•CE=|-4|=4，即$\frac{2}{9}$b²=4，
解得：b=3$\sqrt{2}$，或b=-3$\sqrt{2}$（舍去）．
故答案為：3$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題、反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義以及相似三角形的判定及性質(zhì)，解題的關(guān)鍵：（1）由P點(diǎn)坐標(biāo)表示出Q點(diǎn)坐標(biāo)；（2）找出關(guān)于b的一元二次方程．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時(shí)，借助于相似三角形的性質(zhì)找出各線段的長度，再根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義得出方程是關(guān)鍵．