Question

11．如圖，己知拋物線y=x²+bx+c圖象經(jīng)過點以（-1，0），B（0，-3），拋物線與x軸的另一個交點為C．
（1）求這個拋物線的解析式：
（2）若拋物線的對稱軸上有一動點D，且△BCD為等腰三角形（CB≠CD），試求點D的坐標；
（3）若點P是直線BC上的一個動點（點P不與點B和點C重合），過點P作x軸的垂線，交拋物線于點M，點Q也在直線BC上，且PQ=$\sqrt{2}$，設(shè)點P的橫坐標為t，△PMQ的面積為S，求出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

分析 （1）將（-1，0），B（0，-3）代入拋物線的解析式可求得b、c的值；
（2）拋物線的對稱軸為x=1，然后再求得點C的坐標，設(shè)點D的坐標為（1，a），依據(jù)兩點間的距離公式分別求得BD、BC、CD的長，然后分為BD=BC和DC=DB兩種情況列方程求解即可；
（3）先求得∠MPN=45°，設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，將點B和點C的坐標代入可求得BC的解析式，當t＜0時點P在線段CB的延長線上，過點M作MN⊥BC，垂足為N．設(shè)點P的坐標為（t，t-3），則M的坐標為（t，t²-2t-3），則MP=t²-3t，然后依據(jù)MN=sin45°•MP可表示出MN的長，最后依據(jù)三角形的面積公式可求得S與t的關(guān)系式，同理可求得點P在線段BC上和點P在線段BC的延長線上時，S與t的函數(shù)關(guān)系式．

解答 解：（1）將（-1，0），B（0，-3），代入拋物線的解析式得：$\left\{\begin{array}{l}{1-b+c=0}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
解得：b=-2，c=-3．
∴拋物線的解析式為y=x²-2x-3．

（2）拋物線的對稱性為x=-$\frac{2a}$=1，
令y=0得：x²-2x-3=0，解得x=-1或x=3，
∴C（3，0）．
設(shè)點D的坐標為（1，a）．
當BD=BC時，依據(jù)兩點間的距離公式可知：1²+（a+3）²=3²+3²，解得：x=-3+$\sqrt{17}$或x=-3-$\sqrt{17}$．
∴點D的坐標為（1，-3+$\sqrt{17}$），（1，-3-$\sqrt{17}$）．
當DC=DB時，依據(jù)兩點間的距離公式可知：2²+a²=1²+（a+3）²，解得：a=-1，
∴點D的坐標為（1，-1）．

（3）∵OC=OB，∠COB=90°，
∴∠MPN=45°．
設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，將點B和點C的坐標代入直線BC的解析式得：$\left\{\begin{array}{l}{b=-3}\\{3k+b=0}\end{array}\right.$，解得：k=1，b=-3．
∴直線BC的解析式為y=x-3．
如圖1所示：當t＜0時點P在線段CB的延長線上，過點M作MN⊥BC，垂足為N．

設(shè)點P的坐標為（t，t-3），則M的坐標為（t，t²-2t-3），則MP=t²-2t-3-（t-3）=t²-3t．
∴MN=sin45°•MP=$\frac{\sqrt{2}}{2}$t²-$\frac{3\sqrt{2}}{2}$t．
∴△PQM的面積=$\frac{1}{2}$PQ•MN=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{2}$×（$\frac{\sqrt{2}}{2}$t²-$\frac{3\sqrt{2}}{2}$t）=$\frac{1}{2}$t²-$\frac{3}{2}$t．
∴當t＜0時，S=$\frac{1}{2}$t²-$\frac{3}{2}$t．
如圖所示：當0＜t＜3時，點P在線段BC上，過點P作PN⊥BC，垂足為N．

設(shè)點P的坐標為（t，t-3），則M的坐標為（t，t²-2t-3），則MP=t-3-（t²-2t-3）=-t²+3t．
∴MN=sin45°•MP=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$t²+$\frac{3\sqrt{2}}{2}$t．
∴△PQM的面積=$\frac{1}{2}$PQ•MN=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{2}$×（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$t²+$\frac{3\sqrt{2}}{2}$t）=-$\frac{1}{2}$t²+$\frac{3}{2}$t．
∴當0＜t＜3時，S=-$\frac{1}{2}$t²+$\frac{3}{2}$t．
如圖3所示，當t＞3時，點P在BC的延長線上，過點M作MN⊥BC，垂足為C．

設(shè)點P的坐標為（t，t-3），則M的坐標為（t，t²-2t-3），則MP=t²-2t-3-（t-3）=t²-3t．
∴MN=sin45°•MP=$\frac{\sqrt{2}}{2}$t²-$\frac{3\sqrt{2}}{2}$t．
∴△PQM的面積=$\frac{1}{2}$PQ•MN=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{2}$×（$\frac{\sqrt{2}}{2}$t²-$\frac{3\sqrt{2}}{2}$t）=$\frac{1}{2}$t²-$\frac{3}{2}$t．
∴當t＞3時，S=$\frac{1}{2}$t²-$\frac{3}{2}$t．
綜上所述，S與t的函數(shù)關(guān)系式為S=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}{t}^{2}-\frac{3}{2}t（t＜0或t＞3）}\\{-\frac{1}{2}{t}^{2}+\frac{3}{2}t（0＜t＜3）}\end{array}\right.$．

點評 本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應用，解答本題主要應用了待定系法求一次函數(shù)、二次函數(shù)的解析式、兩點間的距離公式、二次函數(shù)的性質(zhì)，分類討論是解題的關(guān)鍵．