Question

19．已知二次函數(shù)y=ax²+bx+c中自變量x和函數(shù)值y的部分對(duì)應(yīng)值如下表：

x	…	-1	0	1	2	3	…
y	…	10	5	2	1	2	…

（1）求該二次函數(shù)的函數(shù)關(guān)系式；
（2）在所給的直角坐標(biāo)系中畫出此函數(shù)的圖象；
（3）求出y≤10時(shí)自變量x的取值范圍（可以結(jié)合圖象說理）．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)x=1或3時(shí)，y均等于2，那么此二次函數(shù)的對(duì)稱軸是2，則頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，1），設(shè)出頂點(diǎn)式，把表格中除頂點(diǎn)外的一點(diǎn)的坐標(biāo)代入可得a的值，也就求得了二次函數(shù)的值；
（2）根據(jù)圖表中的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，畫出函數(shù)的圖象即可；
（3）由表格中的值可以判斷函數(shù)值等于10的自變量的值，再利用二次函數(shù)增減性求出即可．

解答 解：（1）由圖表可知拋物線y=ax²+bx+c過點(diǎn)（1，2），（3，2），求出對(duì)稱軸即可：
x=2；
∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為：（2，1），
∴設(shè)y=a（x-2）²+1，
將（1，2）代入可得：a+1=2，
解得：a=1，
∴二次函數(shù)的解析式為：y=（x-2）²+1=x²-4x+5．

（2）由表格中的值可以判斷：
圖象與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)為：（1，2），（3，2），頂點(diǎn)坐標(biāo)為：（2，1），


（3）由圖表可知拋物線y=ax²+bx+c過點(diǎn)（-1，10），求出對(duì)稱軸：x=2；
∴拋物線y=ax²+bx+c過點(diǎn)（5，10），
∴y≤10時(shí)自變量x的取值范圍：-1≤x≤5．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式：在利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)關(guān)系式時(shí)，要根據(jù)題目給定的條件，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄔO(shè)出關(guān)系式，從而代入數(shù)值求解．一般地，當(dāng)已知拋物線上三點(diǎn)時(shí)，常選擇一般式，用待定系數(shù)法列三元一次方程組來求解；當(dāng)已知拋物線的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸時(shí)，常設(shè)其解析式為頂點(diǎn)式來求解；當(dāng)已知拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，可選擇設(shè)其解析式為交點(diǎn)式來求解．也考查了二次函數(shù)圖象．