Question

4．如圖，將矩形ABCD繞點A旋轉(zhuǎn)至矩形AB′C′D′位置，此時AC′的中點恰好與D點重合，AB′交CD于點E．若AB=3，則△AEC的面積為$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 先求出∠ACD=30°，進而可算出CE、AD，再算出△AEC的面積．

解答 解：如圖，

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：AC=AC'，
∵D為AC'的中點，
∴AD=$\frac{1}{2}AC'=\frac{1}{2}AC$，
∵ABCD是矩形，
∴AD⊥CD，
∴∠ACD=30°，
∵AB∥CD，
∴∠CAB=30°，
∴∠C'AB'=∠CAB=30°，
∴∠EAC=30°，
∴AE=EC，
∴DE=$\frac{1}{2}AE=\frac{1}{2}EC$，
∴CE=$\frac{2}{3}CD$=$\frac{2}{3}AB=2$，
DE=$\frac{1}{3}AB=1$，
AD=$\sqrt{3}$，
∴${S}_{△AEC}=\frac{1}{2}×EC×AD$=$\sqrt{3}$．
故答案為$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、特殊角的三角函數(shù)，三角形面積計算等知識點，難度不大．清楚旋轉(zhuǎn)的“不變”特性是解答的關(guān)鍵．