Question

已知△ABC的兩邊AB、AC的長是關(guān)于x的一元二次方程x²-（2k+1）x+k（k+1）=0 的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，第三邊BC的長為5．
（1）k為何值時(shí)，△ABC是以BC為斜邊的直角三角形？
（2）k為何值時(shí)，△ABC是等腰三角形？并求△ABC的周長．

Answer 1

考點(diǎn)：一元二次方程的應(yīng)用

專題：

分析：（1）根據(jù)題意得出AB、AC的長，再由根與系數(shù)的關(guān)系得出k的值；
（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，分三種情況討論：①AB=AC，②AB=BC，③BC=AC；后兩種情況相同，則可有另種情況，再由根與系數(shù)的關(guān)系得出k的值．

解答：解：（1）∵△ABC是以BC為斜邊的直角三角形，BC=5，
∴AB²+AC²=25，
∵AB、AC的長是關(guān)于x的一元二次方程x²-（2k+1）x+k（k+1）=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
∴AB+AC=2k+1，AB•AC=k²+k，
∴AB²+AC²=（AB+AC）²-2AB•AC，
即（2k+1）²-2（k²+k）=25，
整理，得
（k-3）（k+4）=0
解得k=3或-4（不合題意舍去）．
即當(dāng)k=3時(shí)，△ABC是以BC為斜邊的直角三角形；

（2）∵△ABC是等腰三角形；
∴當(dāng)AB=AC時(shí)，△=b²-4ac=0，
∴（2k+1）²-4（k²+k）=0
解得k不存在；
當(dāng)AB=BC時(shí)，即AB=5，
∴5+AC=2k+1，5AC=k²+k，
解得k=5或4，
∴AC=6或4
∴△ABC的周長為16或14．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了解一元二次方程的方法，以及實(shí)際應(yīng)用，注意分論討論思想．