Question

18．如圖，已知∠XOY=90°，點(diǎn)A，B分別在射線OX，OY上移動(dòng)，BE是∠ABY的平分線，BE的反向延長(zhǎng)線與∠OAB的平分線相交于點(diǎn)C．試問(wèn)∠ACB的大小是否變化？若不變，請(qǐng)給出證明，若隨點(diǎn)A，B的移動(dòng)發(fā)生變化，請(qǐng)求出變化范圍．

Answer 1

分析 首先判斷出∠ACB不變，然后給出證明，根據(jù)題目中的信息不難發(fā)現(xiàn)，∠ABY與∠BOA和∠BAO的關(guān)系，又由BE是∠ABY的平分線，BE的反向延長(zhǎng)線與∠OAB的平分線相交于點(diǎn)C，可知∠ABY與∠BAC∠BCA的關(guān)系，從而得到∠ACB的大小是否變化．

解答 解：∠ACB的大小不變．
證明：∵∠ABY 為△AOB 的一個(gè)外角，
∴∠ABY=90°+∠OAB．
又∵BE 為∠ABY 的平分線，
∴$∠ABE=\frac{1}{2}∠ABY=\frac{1}{2}（{90}^{°}+∠OAB）$
∴$∠ABE={45}^{°}+\frac{∠OAB}{2}$
∵AC 是∠OAB 的平分線，
∴$∠BAC=\frac{1}{2}∠OAB$．
∵∠ABE=∠C+∠CAB，
∴$∠C=∠ABE-∠CAB={45}^{°}+\frac{1}{2}∠OAB-\frac{1}{2}∠OAB$=45°．
即∠ACB的大小不變．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角形的外角，角平分線的相關(guān)知識(shí)，關(guān)鍵是弄清外角和內(nèi)角的關(guān)系，進(jìn)行靈活變化，從而解答本題．