Question

16．在平行四邊形ABCD中，E為CD邊的中點(diǎn)，且∠EAF=∠DAE，AF交射線BC于點(diǎn)F，若AF=13，CF=3，則BF的長度為7或19．

Answer 1

分析 延長AE交BC的延長線于G，分兩種情況：①如圖1所示：由平行四邊形的性質(zhì)得出AD∥BC，AD=BC，證出∠G=∠DAE=∠EAF，∠D=∠GCE，得出GF=AF=13，求出GC=GF-CF=10，由AAS證明△ADE≌△GCE，得出AD=GC=10，BC=10，即可求出BF的長度；
②如圖②所示：同①得：GF=AF=13，△ADE≌△GCE，求出GC=GF+CF=16，AD=GC=16，得出BC=16，即可求出BF的長度即可．

解答 解：延長AE交BC的延長線于G，分兩種情況：
①如圖1所示：
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴∠G=∠DAE=∠EAF，∠D=∠GCE，
∴GF=AF=13，
∴GC=GF-CF=13-3=10，
∵E為CD邊的中點(diǎn)，
∴DE=CE，
在△ADE和△GCE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠DAE=∠G}&{\;}\\{∠D=∠GCE}&{\;}\\{DE=CE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△GCE（AAS），
∴AD=GC=10，
∴BC=10，
∴BF=BC-CF=7；
②如圖②所示：
同①得：GF=AF=13，△ADE≌△GCE，
∴GC=GF+CF=16，AD=GC=16，
∴BC=16，
∴BF=BC+CF=19；
綜上所述，BF的長度為7或19；
故答案為：7或19．

點(diǎn)評 本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定、平行線的性質(zhì)；熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．