Question

14．已知，如圖1，BD是邊長為1的正方形ABCD的對角線，BE平分∠DBC交DC于點E，延長BC到點F，使CF=CE，連接DF，交BE的延長線于點G．
（1）求證：△BCE≌△DCF；    
（2）求CF的長；
（3）如圖2，在AB上取一點H，且BH=CF，若以BC為x軸，AB為y軸建立直角坐標(biāo)系，問在直線BD上是否存在點P，使得以B、H、P為頂點的三角形為等腰三角形？若存在，直接寫出所有符合條件的P點坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用正方形的性質(zhì)，由全等三角形的判定定理SAS即可證得△BCE≌△DCF；
（2）通過△DBG≌△FBG的對應(yīng)邊相等知BD=BF=$\sqrt{2}$；然后由CF=BF-BC=即可求得；
（3）分三種情況分別討論即可求得．

解答 （1）證明：如圖1，
在△BCE和△DCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=DC}\\{∠BCE=∠DCF=90°}\\{CE=CF}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△DCF（SAS）；

（2）證明：如圖1，
∵BE平分∠DBC，OD是正方形ABCD的對角線，
∴∠EBC=$\frac{1}{2}$∠DBC=22.5°，
由（1）知△BCE≌△DCF，
∴∠EBC=∠FDC=22.5°（全等三角形的對應(yīng)角相等）；
∴∠BGD=90°（三角形內(nèi)角和定理），
∴∠BGF=90°；
在△DBG和△FBG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DBG=∠FBG}\\{BG=BG}\\{∠BGD=∠BGF}\end{array}\right.$，
∴△DBG≌△FBG（ASA），
∴BD=BF，DG=FG（全等三角形的對應(yīng)邊相等），
∵BD=$\sqrt{A{B}^{2}+A{D}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
∴BF=$\sqrt{2}$，
∴CF=BF-BC=$\sqrt{2}$-1；
（3）解：如圖2，∵CF=$\sqrt{2}$-1，BH=CF
∴BH=$\sqrt{2}$-1，
①當(dāng)BH=BP時，則BP=$\sqrt{2}$-1，
∵∠PBC=45°，
設(shè)P（x，x），
∴2x²=（$\sqrt{2}$-1）²，
解得x=1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$或-1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴P（1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）或（-1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$，-1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$）；
②當(dāng)BH=HP時，則HP=PB=$\sqrt{2}$-1，
∵∠ABD=45°，
∴△PBH是等腰直角三角形，
∴P（$\sqrt{2}$-1，$\sqrt{2}$-1）；
③當(dāng)PH=PB時，∵∠ABD=45°，
∴△PBH是等腰直角三角形，
∴P（$\frac{\sqrt{2}-1}{2}$，$\frac{\sqrt{2}-1}{2}$），
綜上，在直線BD上是否存在點P，使得以B、H、P為頂點的三角形為等腰三角形，所有符合條件的P點坐標(biāo)為（1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）、（-1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$，-1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$）、（$\sqrt{2}$-1，$\sqrt{2}$-1）、（$\frac{\sqrt{2}-1}{2}$，$\frac{\sqrt{2}-1}{2}$）．

點評 本題是四邊形的綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．