Question

19．如圖，已知菱形ABCD的邊長為2，∠B=60°，∠PAQ=60°且∠PAQ繞著點A在菱形ABCD內部旋轉，在運動過程中△PCQ的面積最大值是$\frac{1}{4}\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 先根據(jù)已知條件判定△ACP≌△ADQ，得出△PAQ是等邊三角形，再求得四邊形APCQ的面積為菱形面積的一半，最后根據(jù)三角形APQ的面積最小值，求得三角形PCQ的面積最大值．

解答 解：∵在菱形ABCD中，∠B=60°，
∴△ABC是等邊三角形，
∴AB=BC=AC，∠ACP=∠CAD=60°，
∴AC=AD，
∵∠PAQ=60°，
∴∠CAP=∠DAQ，
∴△ACP≌△ADQ，
∴AP=AQ，
∴△PAQ是等邊三角形，
∵△ACP≌△ADQ，
∴S_△ACP=S_△ADQ，即S_{四邊形APCQ}=S_△ACD=$\frac{1}{2}$×2×$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$（定值），
∵當三角形APQ的面積最小時，三角形PCQ的面積最大，
∴當AP⊥BC時，AP=$\sqrt{3}$，三角形APQ的面積最小值=$\frac{\sqrt{3}}{4}×（\sqrt{3}）^{2}$=$\frac{3}{4}\sqrt{3}$，
∴三角形PCQ的面積最大值=$\sqrt{3}$-$\frac{3}{4}\sqrt{3}$=$\frac{1}{4}\sqrt{3}$．
故答案為：$\frac{1}{4}\sqrt{3}$

點評 本題主要考查了菱形和等邊三角形，解決問題的關鍵是確定四邊形APCQ的面積為定值，等于菱形面積的一半．當∠PAQ繞著點A在菱形ABCD內部旋轉時，三角形APQ的形狀不變，但大小發(fā)生改變，根據(jù)垂線段最短可知其面積存在最小值．