Question

2．閱讀探索題：
（1）如圖1，OP是∠MON的平分線，以O(shè)為圓心任意長為半徑作弧，交射線ON，OM為C，B兩點(diǎn)，在射線OP上任取一點(diǎn)A（O點(diǎn)除外），連接AB，AC，求證：△AOB≌△AOC．
（2）請你參考這個作全等三角形的方法，解答下列問題：
①如圖2：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，CD平分∠ACB，試判斷BC和AC、AD之間的數(shù)量關(guān)系；
②如圖3，在四邊形ABCD中，AC平分∠BAD，BC=CD=10，AC=17，AD=9，求AB的長．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)以O(shè)為圓心任意長為半徑作弧，交射線ON，OM為C，B兩點(diǎn)，OP是∠MON的平分線，運(yùn)用SAS判定△AOB≌△AOC即可；
（2）先截取CE=CA，連接DE，根據(jù)SAS判定△CAD≌△CED，得出AD=DE，∠A=∠CED=60°，AC=CE，進(jìn)而得出結(jié)論BC=AC+AD；
（3）先截取AE=AD，連接CE，作CH⊥AB，垂足為點(diǎn)H，根據(jù)△ADC≌△AEC，在Rt△ACH和Rt△CEH中，設(shè)EH=HB=x，利用CH為公共邊，列出方程17²-（9+x）²=10²-x²，求得x的值即可得到AB的長．

解答 解：（1）如圖1，以O(shè)為圓心任意長為半徑作弧，交射線ON，OM為C，B兩點(diǎn)，則OB=OC，
∵OP是∠MON的平分線，
∴∠AOB=∠AOC，
在△AOB和△AOC，
$\left\{\begin{array}{l}{OB=OC}\\{∠AOB=∠AOC}\\{OA=OA}\end{array}\right.$，
∴△AOB≌△AOC（SAS）；

（2）BC=AC+AD
如圖2，截取CE=CA，連接DE，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠ECD，
在△ACD與△ECD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=CE}\\{∠ACD=∠ECD}\\{CD=CD}\end{array}\right.$，
∴△CAD≌△CED（SAS），
∴AD=DE，∠A=∠CED=60°，AC=CE，
∵∠ACB=90°，∠A=60°，
∴∠B=30°，
∴∠B=∠EDB=30°，
∴DE=EB=AD，
∴BC=AC+AD；

（3）如圖，截取AE=AD，連接CE，作CH⊥AB，垂足為點(diǎn)H，
同理△ADC≌△AEC，
∴AE=AD=9，CD=CE=10=CB，
∵CH⊥AB，CE=CB，
∴EH=HB，
設(shè)EH=HB=x，
在Rt△ACH和Rt△CEH中
17²-（9+x）²=10²-x²，
解得：x=6，
∴AB=21．

點(diǎn)評 本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理以及等腰三角形的性質(zhì)的綜合應(yīng)用，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造全等三角形，根據(jù)線段的和差關(guān)系進(jìn)行推導(dǎo)．解題時注意方程思想的運(yùn)用．