Question

19．如圖，在△ABC中，AB=AC=BC=8，點(diǎn)D為AB中點(diǎn)，點(diǎn)P從B點(diǎn)沿射線BC以2個(gè)單位/每秒運(yùn)動，點(diǎn)Q從點(diǎn)C沿線段CA以1個(gè)單位/每秒運(yùn)動，運(yùn)動時(shí)間為t秒．求：
（1）t為何值時(shí)，△BPD為直角三角形？
（2）t為何值時(shí)，△PCQ為等腰三角形？
（3）是否存在這樣時(shí)刻t，使得△BPD與△PCQ全等？若存在，求出這樣的時(shí)間t的值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）分∠BPD=90°、∠BDP=90°兩種情況，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)計(jì)算；
（2）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和判定定理列出方程，解方程即可；
（3）分PC=BD、BD=CQ兩種情況，根據(jù)全等三角形的判定定理進(jìn)行判斷即可．

解答 解：（1）當(dāng)∠BPD=90°時(shí)，BP=$\frac{1}{2}$BD，即2×2t=4，
解得，t=1；
當(dāng)∠BDP=90°時(shí)，
∵點(diǎn)D為AB中點(diǎn)，
∴點(diǎn)P與點(diǎn)C重合，
∴t=4；
∴當(dāng)t=1或t=4時(shí)，△BPD為直角三角形；

（2）∵AB=AC=BC=8，
∴△ABC是等邊三角形，
∴∠C=60°，
當(dāng)△PCQ為等腰三角形時(shí)，△PCQ為等邊三角形，
∴CP=CQ，即8-2t=t，
解得，t=$\frac{8}{3}$；

（3）不存在這樣時(shí)刻t，使得△BPD與△PCQ全等．
當(dāng)PC=BD時(shí)，8-2t=4，
解得，t=2，
則BP=4，
此時(shí)CQ=2，
∴BP≠CQ；
當(dāng)BD=CQ時(shí)，t=4，
此時(shí)BP≠CP，
∴不存在這樣時(shí)刻t，使得△BPD與△PCQ全等．

點(diǎn)評 本題考查的是等邊三角形的性質(zhì)、直角三角形的判定、等腰三角形的判定以及全等三角形的判定，掌握相關(guān)的性質(zhì)定理和判定定理是解題的關(guān)鍵，解答時(shí)，注意分情況討論思想的靈活運(yùn)用．