Question

7．已知關(guān)于x的方程x²+2（a-1）x+a²-7a-4=0的兩根為x₁、x₂，且滿足x₁x₂-3x₁-3x₂-2=0．則（1+$\frac{4}{{a}^{2}-4}$）•$\frac{a+2}{a}$的值是2．

Answer 1

分析 根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到x₁+x₂=-2（a-1），x₁•x₂=a²-7a-4，利用x₁x₂-3x₁-3x₂-2=0得a²-7a-4+6（a-1）-2=0，解得a₁=4，a₂=-3，再把（1+$\frac{4}{{a}^{2}-4}$）•$\frac{a+2}{a}$化簡得到$\frac{a}{a-2}$，然后根據(jù)分式有意義的條件得到a=4，然后把a(bǔ)=4代入計算即可．

解答 解：根據(jù)題意得x₁+x₂=-2（a-1），x₁•x₂=a²-7a-4，
∵x₁x₂-3x₁-3x₂-2=0，
∴a²-7a-4+6（a-1）-2=0，
整理得a²-a-12=0，解得a₁=4，a₂=-3，
（1+$\frac{4}{{a}^{2}-4}$）•$\frac{a+2}{a}$=$\frac{{a}^{2}-4+4}{（a+2）（a-2）}$•$\frac{a+2}{a}$
=$\frac{a}{a-2}$，
∵a-2≠0，
∴當(dāng)a=4時，（1+$\frac{4}{{a}^{2}-4}$）•$\frac{a+2}{a}$=$\frac{4}{4-2}$=2．
故答案為2．

點(diǎn)評 本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的兩根時，x₁+x₂=-$\frac{a}$，x₁•x₂=$\frac{c}{a}$．也考查了分式的化簡求值．