Question

2．如圖，在平面直角坐標系中，點O是坐標原點，四邊形ABCO是菱形，點A的坐標為（-3，4），點C在x軸的正半軸上，直線AC交y軸于點M，AB邊交y軸于點H，連接BM．
（1）求直線AC的解析式；
（2）動點P從點A出發(fā)，沿折線ABC的方向以2個單位/秒的速度向終點C勻速運動，設△PMB的面積為S，點P的運動時間為t秒，求S與t之間的函數(shù)關系式（要求寫出自變量t的取值范圍）；
（3）動點P從點A出發(fā)，沿線段AB方向以2個單位/秒的速度向終點B勻速運動，當∠MPB與∠BCO互為余角時，試確定t的值．

Answer 1

分析 （1）過點A作AE⊥x軸，垂足為E，根據(jù)勾股定理求出OA的長，根據(jù)菱形的性質(zhì)可得出C點坐標，再利用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式即可；
（2）先求出OM的長，再分點P在AB邊上運動與點P在BC邊上運動兩種情況進行分類討論；
（3）先根據(jù)菱形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理得出∠MPB=∠ABM，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得出結論．

解答 解：（1）如圖1，過點A作AE⊥x軸，垂足為E．
∵A（-3，4），
∴AE=4，OE=3，
∴OA=$\sqrt{{AE}^{2}+{OE}^{2}}$=5．
∵四邊形ABCO是菱形，
∴OC=CB=BA=OA=5，
∴C（5，0）．設直線AC的解析式為y=kx+b，將A（-3，4），C（5，0）代入得：$\left\{\begin{array}{l}-3k+b=4\\ 5k+b=0\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}k=-\frac{1}{2}\\ b=\frac{5}{2}\end{array}\right.$，
∴直線AC的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{5}{2}$．

（2）由（1）得點M的坐標為（0，$\frac{5}{2}$），
∴OM=$\frac{5}{2}$．
如圖1，當點P在AB邊上運動時．
由題意得OH=4，
∴HM=$\frac{3}{2}$．
∴S=$\frac{1}{2}$BP•MH=$\frac{1}{2}$（5-2t）×$\frac{3}{2}$
∴S=-$\frac{3}{2}$t+$\frac{15}{4}$（0≤t＜$\frac{5}{2}$）．
如圖2，當點P在BC邊上運動時．
∵∠OCM=∠BCM，OC=BC，MC=MC．
∴△MOC≌△MBC．
∴BM=OM=$\frac{5}{2}$，∠MBC=∠MOC=90°．
∴S=$\frac{1}{2}$BP•BM=$\frac{1}{2}$（2t-5）×$\frac{5}{2}$
∴S=$\frac{5}{2}$t-$\frac{25}{4}$（$\frac{5}{2}$＜t≤5）；

（3）∵∠AOC=∠ABC，∠MOC=∠MBC，
∴∠AOM=∠ABM．
∵∠MPB+∠BCO=90°，∠BAO=∠BCO，∠BAO+∠AOM=90°．
∴∠MPB=∠AOM，
∴∠MPB=∠ABM．
如圖3，當點P在AB邊上運動時．
∵∠MPB=∠ABM，
∴PM=BM．
∵MH⊥PB，
∴PH=HB=5-3=2，
∴PA=3-2=1．
∴t=$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查的是一次函數(shù)綜合題，涉及到一次函數(shù)圖象上點的坐標特點、菱形的性質(zhì)等知識，在解答（2）時要注意進行分類討論．