Question

19．如圖，AB∥CD，P為定點，E，F(xiàn)分別是AB，CD上的動點．
（1）如圖1，求證：∠P=∠BEP+∠PFD；
（2）如圖2，若M為CD上一點，∠FMN=∠BEP，且MN交PF于點N，請判斷∠EPF與∠PNM的關系，并證明你的結(jié)論；
（3）如圖3，移動E、F使得∠EPF=90°，作∠PEG=∠BEP，則∠AEG與∠PFD有什么數(shù)量關系，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）如圖1，過點P作PG∥AB，根據(jù)平行線的性質(zhì)進行證明；
（2）利用（1）中的結(jié)果和三角形外角的性質(zhì)可以推知∠EPF=∠PNM；
（3）利用（1）中的結(jié)論得到∠1+∠2=90°，結(jié)合已知條件∠PEG=∠BEP，即∠1=∠3得到∠4=180°-2∠1，易求∠AEG與∠PFD度數(shù)的數(shù)量關系．

解答 解：（1）如圖1，過點P作PG∥AB，則∠1=∠BEP．
又∵AB∥CD，
∴PG∥CD，
∴∠2=∠PFD，
∴∠EPF=∠1+∠2=∠BEP+∠PFD，
即∠EPF=∠BEP+∠PFD；

（2）∠EPF=∠PNM．理由如下：
由（1）知，∠EPF=∠BEP+∠PFD．
如圖2，∵∠FMN=∠BEP，
∴∠EPF=∠FMN+∠PFD．
又∵∠PNM=∠FMN+∠PFD．
∴∠EPF=∠PNM；

（3）∠AEG=2∠PFD．理由如下：
如圖3，∵由（1）知∠1+∠2=90°．
∴∠1=90°-∠2．
又∵∠1=∠3，
∴∠4=180°-2∠1=180°-2（90°-∠2）=2∠2，
即∠AEG=2∠PFD．

點評 本題考查了平行線的性質(zhì)，三角形外角性質(zhì)以及平角定義的運用，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解本題的關鍵．