Question

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分線交BC邊于點(diǎn)E．若BE=2，∠B=22.5°
（1）求AE的長(zhǎng)和∠AEC的度數(shù)；
（2）求△ABC的面積（保留根號(hào)）．

Answer 1

考點(diǎn)：線段垂直平分線的性質(zhì),等腰直角三角形

專題：

分析：（1）直接根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得出AE的長(zhǎng)，故可得出∠BAE的度數(shù)，由三角形外角的性質(zhì)即可得出∠AEC的度數(shù)；
（2）根據(jù)∠C=90°，∠AEC=45°可知△ACE是等腰直角三角形，再根據(jù)勾股定理求出AC的長(zhǎng)，根據(jù)三角形的面積公式即可得出結(jié)論．

解答：解：（1）∵DE是線段AB的垂直平分線，BE=2，
∴AE=BE=2．
∵∠B=22.5°，
∴∠BAE=∠B=22.5°，
∴∠AEC=∠B+∠BAE=22.5°+22.5°=45°；

（2）∵∠C=90°，∠AEC=45°，
∴△ACE是等腰直角三角形，
∴AC=CE，
∴2AC²=AE²，即2AC²=2²，解得AC=

2

，
∴BC=BE+CE=2+

2

，
∴S_△ABC=

1

2

AC•BC=

1

2

×

2

×（2+

2

）=1+

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是線段垂直平分線的性質(zhì)，熟知垂直平分線上任意一點(diǎn)，到線段兩端點(diǎn)的距離相等是解答此題的關(guān)鍵．