Question

6．如圖，點O是等邊△ABC內(nèi)一點，以CO為邊作等邊△COD，∠AOB=110°，∠BOC=α．
（1）當(dāng)α=150°時，試判斷△AOD的形狀，并說明理由；
（2）求∠OAD；
（3）探究：當(dāng)α為多少時，△AOD是等腰三角形？

Answer 1

分析 （1）如圖，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得∠ACB=60°，CA=CB，∠OCD=∠3=∠4=60°，OC=CD，則利用旋轉(zhuǎn)的定義，把△BCO繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°可得到△ACD，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠ADC=∠BOC=α，于是可計算出∠2=∠ADC-∠4=90°，∠1=360°-150°-60°-110°=40°，所以△AOD為直角三角形；
（2）由（1）可得∠2=∠ADC-∠4=α-60°，∠1=360°-α-60°-110°=190°-α，則利用三角形內(nèi)角和定理可得∠OAD=180°-∠1-∠2=50°；
（3）分類討論：當(dāng)∠1=∠2時，△AOD是等腰三角形，則α-60°=190°-α；當(dāng)∠2=∠OAD時，△AOD是等腰三角形，則α-60°=50°；當(dāng)∠1=∠OAD時，△AOD是等腰三角形，則190°-α=50°，然后分別解方程即可得到α的值．

解答 解：（1）△AOD為直角三角形．理由如下：
如圖，∵△ABC和△COD都是等邊三角形，
∴∠ACB=60°，CA=CB，∠OCD=∠3=∠4=60°，OC=CD，
∴△BCO繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°可得到△ACD，
∴∠ADC=∠BOC=α，
∵α=150°，
∴∠2=∠ADC-∠4=150°-60°=90°，∠1=360°-150°-60°-110°=40°，
∴△AOD為直角三角形；
（2）∵∠2=∠ADC-∠4=α-60°，∠1=360°-α-60°-110°=190°-α，
∴∠OAD=180°-∠1-∠2=180°-（α-60°）-（190°-α）=50°；
（3）當(dāng)∠1=∠2時，△AOD是等腰三角形，則α-60°=190°-α，解得α=125°；
當(dāng)∠2=∠OAD時，△AOD是等腰三角形，則α-60°=50°，解得α=110°；
當(dāng)∠1=∠OAD時，△AOD是等腰三角形，則190°-α=50°，解得α=140°，
綜上所述，當(dāng)α為110°或125°或140°時，△AOD是等腰三角形．

點評 本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．也考查了等腰三角形的判定和等邊三角形的判定與性質(zhì)．注意分類討論思想的運用．