Question

18．在△ABC中，AB=AC，D是BC邊上的點，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．
（1）若BD=DC，求證：DE=DF；
（2）若∠BAC=120°，DE+DF=5，求BC的長．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)AAS證明△BDE≌△CDF即可得證；
（2）先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理求出∠B=∠C=30°，根據(jù)直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半得到DE=$\frac{1}{2}$BD，DF=$\frac{1}{2}$DC，兩式相加，可知DE+DF=$\frac{1}{2}$BC，即可求出BC的長．

解答 （1）證明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴∠BED=∠CFD=90°，
在△BDE和△CDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BED=∠CFD=90°}\\{∠B=∠C}\\{BD=DC}\end{array}\right.$，
∴△BDE≌△CDF，
∴DE=DF；
（2）解∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=30°，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，垂足為E，F(xiàn)，
∴DE=$\frac{1}{2}$BD，DF=$\frac{1}{2}$DC，
∴DE+DF=$\frac{1}{2}$BD+$\frac{1}{2}$DC=$\frac{1}{2}$（BD+DC）=$\frac{1}{2}$BC．
∵DE+DF=5，
∴BC=10．

點評 此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理及含30度角的直角三角形的性質(zhì)的綜合運用，熟練地綜合運用幾何知識是解決問題的關(guān)鍵．