Question

13．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線AB經(jīng)過(guò)點(diǎn)C（a，a），且交x軸于點(diǎn)A（m，0），交y軸于點(diǎn)B（0，n），且m，n滿足$\sqrt{m-6}$+（n-12）²=0．
（1）求直線AB的解析式及C點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB交x軸于點(diǎn)D，請(qǐng)?jiān)趫D1中畫(huà)出圖形，并求D點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）如圖2，點(diǎn)E（0，-2），點(diǎn)P為射線AB上一點(diǎn)，且∠CEP=45°，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法切線直線AB解析式即可解決問(wèn)題．
（2）畫(huà)出圖象，求出直線CD解析式即可解決問(wèn)題．
（3）如圖2中，取點(diǎn)F（-2，8），作直線EF交直線AB于P，只要證明∠PEC=45°，求出直線PE解析式，利用方程組求交點(diǎn)坐標(biāo)即可．

解答 解：（1）∵$\sqrt{m-6}$+（n-12）²=0，
∴m=6，n=12，
∴A（6，0），B（0，12），
設(shè)直線AB解析式為y=kx+b，
則有$\left\{\begin{array}{l}{b=12}\\{6k+b=0}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=12}\end{array}\right.$，
∴直線AB解析式為y=-2x+12，
∵直線AB點(diǎn)C（a，a），
∴a=-2a+12，
∴a=4，
∴點(diǎn)C坐標(biāo)（4，4）．

（2）過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB交x軸于點(diǎn)D，如圖1所示，

設(shè)直線CD解析式為y=$\frac{1}{2}$x+b′，邊點(diǎn)C（4，4）代入得到b′=2，
∴直線CD解析式為y=$\frac{1}{2}$x+2，
∴點(diǎn)D坐標(biāo)（-4，0）．

（3）如圖2中，取點(diǎn)F（-2，8），作直線EF交直線AB于P，

∵直線EC解析式為y=$\frac{3}{2}$x-2，直線CF解析式為y=-$\frac{2}{3}$x+$\frac{20}{3}$，
∵$\frac{3}{2}$×（-$\frac{2}{3}$）=-1，
∴直線CE⊥CF，
∵EC=2$\sqrt{13}$，CF=2$\sqrt{13}$，
∴EC=CF，
∴△FCE是等腰直角三角形，
∴∠PEC=45°，
∵直線FE解析式為y=-5x-2，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-2x+12}\\{y=-5x-2}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{14}{3}}\\{y=\frac{64}{3}}\end{array}\right.$，
∴點(diǎn)P坐標(biāo)為（-$\frac{14}{3}$，$\frac{64}{3}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查一次函數(shù)綜合題、待定系數(shù)法、等腰直角三角形的性質(zhì)、兩條直線垂直k的乘積為-1等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造等腰直角三角形解決問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．