Question

11．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，∠AOB=90°，AB∥x軸，OB=2，雙曲線y=$\frac{k}{x}$經(jīng)過點B，將△AOB繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)，使點O的對應(yīng)點D落在x軸的正半軸上．若AB的對應(yīng)線段CB恰好經(jīng)過點O．
（1）求點B的坐標(biāo)和雙曲線的解析式；
（2）判斷點C是否在雙曲線上，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）先求得△BOD是等邊三角形，即可求得B的坐標(biāo)，然后根據(jù)待定系數(shù)法即可求得雙曲線的解析式；
（2）求得OB=OC，即可求得C的坐標(biāo)，根據(jù)C的坐標(biāo)即可判定點C是否在雙曲線上．

解答 解：（1）∵AB∥x軸，
∴∠ABO=∠BOD，
∵∠ABO=∠CBD，
∴∠BOD=∠OBD，
∵OB=BD，
∴∠BOD=∠BDO，
∴△BOD是等邊三角形，
∴∠BOD=60°，
∴B（1，$\sqrt{3}$）；
∵雙曲線y=$\frac{k}{x}$經(jīng)過點B，
∴k=1×$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$．
∴雙曲線的解析式為y=$\frac{\sqrt{3}}{x}$．
（2）∵∠ABO=60°，∠AOB=90°，
∴∠A=30°，
∴AB=2OB，
∵AB=BC，
∴BC=2OB，
∴OC=OB，
∴C（-1，-$\sqrt{3}$），
∵-1×（-$\sqrt{3}$）=$\sqrt{3}$，
∴點C在雙曲線上．

點評 本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式等，求得△BOD是等邊三角形是解題的關(guān)鍵．