Question

如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，sin∠BAC=

1

3

，點D是AC上一點，且BC=BD=2，將Rt△ABC繞點C旋轉(zhuǎn)到Rt△FEC的位置，并使點E在射線BD上，連結(jié)AF交射線BD于點G，則AG的長為（　　）

• A、

  14

  3

• B、3

  2

  +

  1

  2

• C、3

  3

  -

  1

  2

• D、

  9

  2

Answer 1

考點：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)

專題：

分析：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得BC=CE，AC=CF，∠BCE=∠ACF，再根據(jù)等腰三角形兩底角相等求出∠CBD=∠CAF，從而得到△BCD和△AGD相似，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例求出AD=AG，過點B作BH⊥CD于H，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得CD=2CH，再解直角三角形求出CH，AC，然后根據(jù)AD=AC-CD代入數(shù)據(jù)進行計算即可得解．

解答：解：作BH⊥DC于H點
∵△ABC以點C為旋轉(zhuǎn)中心順時針旋轉(zhuǎn)得到△FEC，
∴BC=CE，AC=CF，∠BCE=∠ACF（為旋轉(zhuǎn)角），
∵∠CBD=

1

2

（180°-∠BCE），∠CAF=

1

2

（180°-∠ACF），
∴∠CBD=∠CAF，
又∵∠BDC=∠ADG，
∴△BCD∽△AGD，
∴

BC

BD

=

AG

AD

，
∵BC=BD，
∴AG=AD，
則CD=2CH，
∵sin∠BAC=

1

3

，BC=2，
∴

CH

BC

=

BC

AC

=

1

3

，
即

CH

2

=

2

AC

=

1

3

，
解得CH=

2

3

，AC=6，
∴CD=2×

2

3

=

4

3

，
AD=AC-CD=6-

4

3

=

14

3

，
∴AG=AD=

14

3

，
故選：A．

點評：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后兩圖形全等；對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心的連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角．也考查了全等三角形的判定與性質(zhì)和勾股定理的逆定理．