Question

2．如圖，△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，BF平分∠ABC，交AD于E，交于AC于F．求證：$\frac{DE}{AE}=\frac{AF}{CF}$．

Answer 1

分析 過F作FG⊥BC于G，連接EG，由在Rt△ABC中，∠BAC=90°，F(xiàn)G⊥BC，BF平分∠ABC，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，可得AF=FG，易求得△AEF是等腰三角形，即可得AF=AE=FG，繼而證得四邊形AFGE是平行四邊形，于是得到AD∥FG，EG∥AC，推出△BDE∽△BGF，△BGE∽△BCF，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到$\frac{DE}{FG}=\frac{BE}{BF}$，$\frac{EG}{CF}=\frac{BE}{BF}$，等量代換即可得到結(jié)論．

解答 證明：過F作FG⊥BC于G，連接EG，
∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，
∴BA⊥AF，
∵BF平分∠ABC，F(xiàn)G⊥BC，
∴∠3=∠4，AF=FG，
∵AD⊥BC，
∴AD∥FG，∠AFE=∠BED=90°-∠4，
∵∠AFE=90°-∠3，
∴∠AFE=∠AEF，
∴AF=AE，
∴AE=EG，
∴四邊形AFGE是平行四邊形，
∴AD∥FG，EG∥AC，
∴△BDE∽△BGF，△BGE∽△BCF，
∴$\frac{DE}{FG}=\frac{BE}{BF}$，$\frac{EG}{CF}=\frac{BE}{BF}$，
∴$\frac{DE}{FG}=\frac{GE}{CF}$，
∴$\frac{DE}{AE}=\frac{AF}{CF}$．

點評 本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握各定理是解題的關(guān)鍵．