Question

9．如圖，拋物線y=-x²+bx+c交x軸于A（1，0），B（5，0）兩點，頂點為D，直線y=-$\frac{1}{2}$x+3交x軸、y軸于點E、F，交拋物線于M、N兩點．
（1）拋物線的解析式為y=-x²+6x-5；點D的坐標為（3，4）；
（2）點P為直線MN上方的拋物線上的點，當△PMN的面積最大時，求點P的坐標；
（3）在拋物線上是否存在點Q，使點Q關(guān)于直線EF的對稱點在x軸上？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式，根據(jù)配方法，可得頂點式解析式，可得頂點坐標；
（2）根據(jù)自變量與函數(shù)值的對應(yīng)關(guān)系，可得P，G點坐標，根據(jù)平行于y軸的直線上兩點間的距離是較大的縱坐標減較小的縱坐標，可得PG的長，根據(jù)解方程組，可得M、N的橫坐標，根據(jù)面積的和差，可得二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可得P點的橫坐標，再根據(jù)自變量與函數(shù)值的對應(yīng)關(guān)系，可得P點坐標；
（3）根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)，可得∠ADG=∠FEO，根據(jù)余角的性質(zhì)，可得∠IDH+∠DIH=90°，根據(jù)直角三角形的判定，可得∠DHE=90°，根據(jù)線段垂直平分線的定義，可得EF為AD中垂線，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，可得直線ED上的點關(guān)于直線EF的對稱點都在x軸上，根據(jù)解方程組，可得Q點坐標．

解答 解：（1）將A、B點坐標代入函數(shù)解析式，得
$\left\{\begin{array}{l}{-1+b+c=0}\\{-25+5b+c=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=6}\\{c=-5}\end{array}\right.$，
拋物線的解析式為y=-x²+6x-5，
y=-x²+6x-5=-（x-3）²+4，
點D的坐標為（3，4）；
故答案為：y=-x²+6x-5，（3，4）；
（2）如圖1，
過P作PG⊥x軸交EF于G點，設(shè)P（m，-m²+6m-5），G（m，-$\frac{1}{2}$m+3），
PG=-m²+6m-5-（-$\frac{1}{2}$m+3）=-m²+$\frac{13}{2}$m-8．
聯(lián)立拋物線與直線EF，得
$\left\{\begin{array}{l}{y=-{x}^{2}+6x-5}\\{y=-\frac{1}{2}x+3}\end{array}\right.$，
化簡，得
2x²-13x+16=0，
解得x₁=$\frac{13+\sqrt{41}}{4}$，x₂=$\frac{13-\sqrt{41}}{4}$，
S_△PMN=S_△PGN+S_△PGM=$\frac{1}{2}$PG•（x_N-3）+$\frac{1}{2}$PG•（3-x_M）
=$\frac{1}{2}$PG（x_N-x_M）
=$\frac{1}{2}$（-m²+$\frac{13}{2}$m-8）（$\frac{13+\sqrt{41}}{4}$-$\frac{13-\sqrt{41}}{4}$）
=-$\frac{\sqrt{41}}{4}$（m-$\frac{13}{4}$）²+$\frac{17\sqrt{41}}{16}$，
當m=$\frac{13}{4}$時，S_最大=$\frac{17\sqrt{41}}{16}$，
當m=$\frac{13}{4}$時，-m²+6m-5=-（$\frac{13}{4}$）²+6×$\frac{13}{4}$-5=$\frac{63}{16}$，
即P（$\frac{13}{4}$，$\frac{63}{16}$），
當△PMN的面積最大時，點P的坐標（$\frac{13}{4}$，$\frac{63}{16}$）；
（3）如圖2，
連接AD交MN于點H，過D作DG⊥x軸于G，連接DE，
∴AG=2，DG=4，$\frac{AG}{DG}$=$\frac{1}{2}$，
又∵F（0，3），E（6，0），
∴$\frac{OF}{OE}$=$\frac{1}{2}$
∴$\frac{AG}{DG}$=$\frac{OF}{OE}$，
∴△OFE∽△GAD，
∴∠ADG=∠FEO，
∴∠DHE=∠DGE=90°
∴EF⊥AD，
又∵AD中點為（2，2），將（2，2）代入EF解析式2=-$\frac{1}{2}$×2+3，
∴H為AD中點，
∴EF為AD中垂線，連結(jié)ED，
則直線ED上的點關(guān)于直線EF的對稱點都在x軸上．
∵D（3，4），E（6，0），
∴y_DE=-$\frac{4}{3}$x+8，
連接DE與拋物線，得
$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{4}{3}x+8}\\{y=-{x}^{2}+6x-5}\end{array}\right.$
消元，得
-$\frac{4}{3}$x+8=-x²+6x-5．
解得x₁=3，-$\frac{4}{3}$x+8=4，Q（3，4）；
x₂=$\frac{13}{3}$，-$\frac{4}{3}$x+8=$\frac{20}{9}$，Q（$\frac{13}{3}$，$\frac{20}{9}$）；
∴在拋物線上存在點Q，使點Q關(guān)于直線EF的對稱點在x軸上，點Q的坐標為Q₁（3，4），Q₂（$\frac{13}{3}$，$\frac{20}{9}$）．

點評 本題考查了二次函數(shù)綜合題，利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，利用配方法得出頂點坐標；利用圖形割補法是求面積的關(guān)鍵；利用了相似三角形的判定與性質(zhì)，線段垂直平分線的定義與性質(zhì)．