Question

13．如圖，已知在矩形ABCD中，AB=a，BC=b，點(diǎn)E是線段AD邊上的任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)A、D），連接BE、CE．
（1）若a=5，sin∠ACB=$\frac{5}{13}$，解答下列問題：
①填空：b=12；
②當(dāng)BE⊥AC時(shí)，求出此時(shí)AE的長(zhǎng)；
（2）設(shè)AE=x，試探索點(diǎn)E在線段AD上運(yùn)動(dòng)過程中，使得△ABE與△BCE相似時(shí)，請(qǐng)寫x、a、b三者的關(guān)系式．

Answer 1

分析 （1）①在矩形ABCD中，得到∠ABC=90°，解直角三角形即可得到結(jié)果；
②只要證明△AEB∽△BAC，得 $\frac{AE}{AB}$=$\frac{AB}{BC}$，由此即可解決問題．
（2）分兩種情形討論①當(dāng)△ABE∽△EBC時(shí)，②當(dāng)△BAE∽△CEB時(shí)，分別求解即可．

解答 解：（1）①∵在矩形ABCD中，
∴∠ABC=90°，
∵AB=a=5，sin∠ACB=$\frac{5}{13}$，
∴$\frac{AB}{AC}$=$\frac{5}{13}$，
∴AC=13，
∴BC=$\sqrt{A{C}^{2}-A{B}^{2}}$=12，
∴b=12；
故答案為：12；

②∵BE⊥AC，
∴∠EBC+∠ACB=90°
又∵∠ABE+∠EBC=90°，
∴∠ABE=∠ACB，
又∵∠BAE=∠ABC=90°，
∴△AEB∽△BAC，
∴$\frac{AE}{AB}$=$\frac{AB}{BC}$，
即 $\frac{AE}{5}$=$\frac{5}{12}$，
∴AE=$\frac{25}{12}$；

（2）∵點(diǎn)E在線段AD上的任一點(diǎn)，且不與A、D重合，
∴當(dāng)△ABE與△BCE相似時(shí)，則∠BEC=90°，
①當(dāng)△ABE∽△EBC時(shí)，∠ABE=∠EBC=45°，
∴△EBC是等腰直角三角形，
BC=$\sqrt{2}$BE，BE=$\sqrt{2}$AB，
∴BC=2AB，即b=2a，x=a或x=$\frac{1}{2}$b．

②當(dāng)△BAE∽△CEB
∴∠ABE=∠BCE，
又∵BC∥AD，
∴∠DEC=∠BCE，
∴∠ABE=∠DEC，
又∵∠BAE=∠EDC=90°，
∴△BAE∽△EDC，
∴$\frac{AE}{DC}$=$\frac{AB}{DE}$，
即 $\frac{x}{a}$=$\frac{a}{b-x}$，
∴x²-bx+a²=0，
即（x-$\frac{2}$）2=$\sqrt{\frac{^{2}-4{a}^{2}}{4}}$，
當(dāng)b²-4a²≥0，
∵a＞0，b＞0，
∴b≥2a，
即b≥2a時(shí)，x=$\frac{b±\sqrt{^{2}-4{a}^{2}}}{2}$．
綜上所述：當(dāng)a、b滿足條件b=2a時(shí)△BAE∽△CEB，此時(shí)x=$\frac{1}{2}$b（或x=a）；當(dāng)a、b滿足條件b＞2a時(shí)△BAE∽△CEB，此時(shí)x=$\frac{b±\sqrt{^{2}-4{a}^{2}}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，一元二次方程根的情況，銳角三角函數(shù)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用分類討論思想思考問題，屬于中考?jí)狠S題．