Question

已知關(guān)于x的方程x²-（k+1）x+

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4

k²+1=0的兩根是一個(gè)矩形兩鄰邊的長(zhǎng)．
（1）k取何值時(shí)，方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；  
（2）若兩根為x₁，x₂，滿足x²₁+x²₂=5，求k的值．

Answer 1

考點(diǎn)：根的判別式,根與系數(shù)的關(guān)系

專題：計(jì)算題

分析：（1）根據(jù)判別式的意義得到△=（k+1）²-4（

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4

k²+1）≥0，然后解不等式即可得到k的取值范圍；
（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得x₁+x₂=k+1，x₁•x₂=

1

4

k²+1，利用完全平方公式，由x²₁+x²₂=5得到（x₁+x₂）²-2x₁•x₂=（k+1）²-2（

1

4

k²+1）=5，整理得k²+4k-12=0，然后解方程后通過(guò)k的范圍確定k的值．

解答：解：（1）根據(jù)題意得△=（k+1）²-4（

1

4

k²+1）≥0，
解得k≥

3

2

；
（2）根據(jù)題意得x₁+x₂=k+1，x₁•x₂=

1

4

k²+1，
∵x²₁+x²₂=5，
∴（x₁+x₂）²-2x₁•x₂=（k+1）²-2（

1

4

k²+1）=5，
整理得k²+4k-12=0，解得k₁=-6，k₂=2，
而k≥

3

2

，
∴k=2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根與△=b2-4ac有如下關(guān)系：當(dāng)△＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根；當(dāng)△=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根；當(dāng)△＜0時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根．也考查了根與系數(shù)的關(guān)系．