Question

18．如圖，拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A（-1，2），頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，-2），與y軸的交點(diǎn)為點(diǎn)B．
（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）判斷∠ACB與∠ABO的大小關(guān)系，并說明理由；
（3）在拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)D，使∠ADB=∠ACB，若存在，請求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用頂點(diǎn)式，設(shè)拋物線解析式為y=a（x-1）²-2，把點(diǎn)A（-1，2）代入拋物線的解析式即可解決問題．
（2）只要證明△ABO∽△ACB，即可解決問題．
（3）存在．△ACB的外接圓與拋物線的對稱軸的交點(diǎn)即為點(diǎn)D，求出△ABC的外接圓的圓心坐標(biāo)，利用對稱即可解決問題．

解答 解：（1）設(shè)拋物線解析式為y=a（x-1）²-2，
把點(diǎn)A（-1，2）代入拋物線的解析式，得2=a（-1-1）²-2，
解得a=1，
∴拋物線解析式為y=x²-2x-1，
當(dāng)x=0時(shí)，y=-1，
∴點(diǎn)B坐標(biāo)（0，-1）．

（2）∵A（-1，2），C（1，-2），
∴點(diǎn)A，點(diǎn)C關(guān)于原點(diǎn)對稱，
直線AC經(jīng)過原點(diǎn)，
∵AO=$\sqrt{5}$，AB=$\sqrt{10}$，AC=2$\sqrt{5}$，
∴$\frac{AC}{AB}$=$\frac{AB}{AO}$，∵∠A=∠A，
∴△ABO∽△ACB，
∴∠ACB=∠ABO．

（2）存在．△ACB的外接圓與拋物線的對稱軸的交點(diǎn)即為點(diǎn)D．
∵O為AC中點(diǎn)，過點(diǎn)O作OM⊥AC交直線x=1于點(diǎn)M．對稱軸與x軸的交點(diǎn)為N，
由△OMN∽△CON，得到$\frac{ON}{MN}$=$\frac{CN}{ON}$，
∴MN=$\frac{O{N}^{2}}{CN}$=$\frac{1}{2}$，
∴點(diǎn)M坐標(biāo)為（1，$\frac{1}{2}$），
∴AC的垂直平分線的解析式為y=$\frac{1}{2}$x，同理BC的垂直平分線的解析式為y=x-2，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x-2}\\{y=\frac{1}{2}x}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=2}\end{array}\right.$，
∴C（1，-2）關(guān)于直線y=2的對稱點(diǎn)D坐標(biāo)為（1，6）．

點(diǎn)評 本題考查二次函數(shù)的綜合題、待定系數(shù)法、一次函數(shù)、相似三角形的判定和性質(zhì)、圓等知識，解題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用這些知識解決問題，第三個(gè)問題的突破點(diǎn)是利用圓周角相等解決問題，屬于中考壓軸題．