Question

9．如圖，△ABC是等邊三角形，點(diǎn)E是BC延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，BE的垂直平分線交AC于點(diǎn)D，垂足為M，CE=CD，求證：AD=CD．

Answer 1

分析 先根據(jù)△ABC是等邊三角形可知∠B=∠ACB=60°，再根據(jù)CE=CD可知∠CDE=∠E，由三角形外角的性質(zhì)可知∠ACB=∠E+∠CDE=60°，故∠E=30°，由DE垂直平分BE可得出∠E=∠DBE=30°，故BD=DE，再根據(jù)等邊三角形的三線合一性質(zhì)得出AD=CD．

解答 證明：連接BD，
∵△ABC是正三角形，
∴∠B=∠ACB=60°，
∵CE=CD，
∴∠E=∠CDE，
又∵∠ACB是△CDE的外角，
∴∠ACB=∠E+∠CDE，
∴∠E=30°，
又∵DM垂直平分BE，
∴BD=DE，
∴∠E=∠DBC=30°，
∵∠B=60°，
∴∠ABD=∠DBC=30°，即BD是正△ABC的角平分線，
∴BD又是邊AC的中線，即D點(diǎn)是AC邊的中點(diǎn)，
∴AD=CD．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是等邊三角形的性質(zhì)及三角形外角的性質(zhì)，根據(jù)題意得出△BDE是等腰三角形是解答此題的關(guān)鍵．