Question

3．如圖，直線CO⊥AB于點(diǎn)O，OA=OB=OC=8，過(guò)點(diǎn)A的直線AD交BC于點(diǎn)D，交y軸與點(diǎn)G，△ABD的面積為△ABC面積的$\frac{1}{4}$．過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AD，交AB交于F，垂足為E．
（1）求線段CE的長(zhǎng)；
（2）連接GF．請(qǐng)你判斷GF與CB的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）過(guò)D作DH垂直于AB，由OA=OB=OC，求出AB的長(zhǎng)，進(jìn)而求出三角形ABC面積，根據(jù)三角形ABC面積與三角形ABD面積的關(guān)系求出三角形ABD面積，進(jìn)而求出DH的長(zhǎng)，根據(jù)三角形BOC為等腰直角三角形，得到三角形BDH為等腰直角三角形，求出HB的長(zhǎng)，由AB-HB求出AH的長(zhǎng)，在直角三角形ADH中，利用勾股定理求出AD的長(zhǎng)，由三角形ABC面積減去三角形ABD面積求出三角形ACD面積，即可確定出CE的長(zhǎng)；
（2）連接GF，可得GF與BC平行，理由為：由一對(duì)對(duì)頂角相等，一對(duì)直角相等，利用內(nèi)角和定理得到一對(duì)角相等，再由OA=OC，利用ASA得到三角形AOG與三角形COF全等，利用全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等得到OG=OF，即三角形GOF為等腰直角三角形，進(jìn)而得到一對(duì)同位角相等，利用同位角相等兩直線平行即可得證．

解答 解：（1）過(guò)D作DH⊥AB，交AB于點(diǎn)H，
∵AO=OB=OC=8，即AB=16，且OC⊥AB，
∴△ABC面積為$\frac{1}{2}$AB•OC=64，
∵△ABD的面積為△ABC面積的$\frac{1}{4}$，
∴△ABD面積為$\frac{1}{2}$AB•DH=$\frac{1}{2}$×16DH=16，△ACD面積為64-16=48，
∴DH=2，
∵OB=OC，OC⊥OB，
∴△BOC為等腰直角三角形，即∠CBO=45°，
∴△DBH為等腰直角三角形，即HB=DH=2，
∴AH=AB-HB=16-2=14，
在Rt△ADH中，根據(jù)勾股定理得：AD=$\sqrt{A{H}^{2}+D{H}^{2}}$=10$\sqrt{2}$，
∵CE⊥AD，△ACD面積為48，
∴$\frac{1}{2}$AD•CE=48，即$\frac{1}{2}$×10$\sqrt{2}$CE=48，
解得：CE=$\frac{24\sqrt{2}}{5}$；
（2）連接GF，可得GF∥CB，理由為：
∵∠CGD=∠AGO，∠COF=∠AOG=90°，
∴∠OAG=∠OCF，
在△AOG和△COF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠OAG=∠OCF}\\{OA=OC}\\{∠AOG=∠COF}\end{array}\right.$，
∴△AOG≌△COF（ASA），
∴OG=OF，
∴△GOF為等腰直角三角形，
∴∠GF0=45°，
∵∠B=45°，即∠GFO=∠B，
∴GF∥CB．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了一次函數(shù)綜合題，涉及的知識(shí)有：等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，平行線的判定，以及三角形面積求法，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題第二問(wèn)的關(guān)鍵．