Question

17．如圖，MP切⊙O于點(diǎn)M，直線PO交⊙O于點(diǎn)A，B，弦AC∥MP，當(dāng)PA，AO滿足什么條件時(shí)，四邊形BOMC為菱形？并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 根據(jù)切線的性質(zhì)得OM⊥PM，而AC∥MP，所以O(shè)M⊥AC，再由圓周角定理得∠ACB=90°，所以O(shè)M∥BC，當(dāng)PA=OA時(shí)可證明△ABC≌△POM，則OM=BC，于是可判斷四邊形BOMC為平行四邊形，加上OB=OM，則可判斷四邊形BOMC為菱形．

解答 解：PA=AO時(shí)，四邊形BOMC為菱形．理由如下：
∵M(jìn)P切⊙O于點(diǎn)M，
∴OM⊥PM，
∵AC∥MP，
∴OM⊥AC，
∵AB為直徑，
∴∠ACB=90°，
∴OM∥BC，
∴∠B=∠MOP，
∵PA=OA，
∴AB=OP，
在△ABC和△POM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ACB=∠PMO}\\{∠ABC=∠POM}\\{AB=PO}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△POM，
∴OM=BC，
∴四邊形BOMC為平行四邊形，
而OB=OM，
∴四邊形BOMC為菱形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑．運(yùn)用切線的性質(zhì)來(lái)進(jìn)行計(jì)算或論證，常通過(guò)作輔助線連接圓心和切點(diǎn)，利用垂直構(gòu)造直角三角形解決有關(guān)問(wèn)題．也考查了菱形的判定．