Question

16．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=-x+8分別交兩軸于點(diǎn)A、B，點(diǎn)C為線段AB的中點(diǎn)，點(diǎn)D在線段OA上，且CD的長(zhǎng)是方程$\frac{2}{x+1}=\frac{1}{x-2}$的根．
（1）求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）求直線CD的解析式；
（3）在平面內(nèi)是否存在這樣的點(diǎn)F，使以A、C、D、F為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，不必說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）首先根據(jù)直線y=-x+8分別交兩軸于點(diǎn)A、B，可得點(diǎn)A的坐標(biāo)是（8，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)是（0，8）；然后根據(jù)點(diǎn)C為線段AB的中點(diǎn)，可得點(diǎn)C的坐標(biāo)是（4，4）；最后求出CD的長(zhǎng)，即可求出點(diǎn)D的坐標(biāo)．
（2）根據(jù)題意，分兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)D的坐標(biāo)是（1，0）時(shí)；②當(dāng)點(diǎn)D的坐標(biāo)是（7，0）時(shí)；然后應(yīng)用待定系數(shù)法，求出直線CD的解析式即可．
（3）根據(jù)題意，分兩種情況：①當(dāng)直線CD的解析式是y=$\frac{4}{3}$x-$\frac{4}{3}$時(shí)；②當(dāng)直線CD的解析式是y=-$\frac{4}{3}$x+$\frac{28}{3}$時(shí)；然后根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，求出點(diǎn)F的坐標(biāo)即可．

解答 解：（1）∵直線y=-x+8分別交兩軸于點(diǎn)A、B，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)是（8，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)是（0，8），
∵點(diǎn)C為線段AB的中點(diǎn)，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)是（4，4），
由$\frac{2}{x+1}=\frac{1}{x-2}$，
解得x=5，
∴CD=5，
設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)是（m，0）（m＞0），
則$\sqrt{{（m-4）}^{2}{+4}^{2}}=5$，
解得m=1或m=7，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)是（1，0）或（7，0）．

（2）①當(dāng)點(diǎn)D的坐標(biāo)是（1，0）時(shí)，
設(shè)直線CD的解析式是y=ax+b，
則$\left\{\begin{array}{l}{a+b=0}\\{4a+b=4}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{4}{3}}\\{b=-\frac{4}{3}}\end{array}\right.$
∴直線CD的解析式是y=$\frac{4}{3}$x-$\frac{4}{3}$．
②當(dāng)點(diǎn)D的坐標(biāo)是（7，0）時(shí)，
設(shè)直線CD的解析式是y=cx+d，
則$\left\{\begin{array}{l}{7c+d=0}\\{4c+d=4}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{c=-\frac{4}{3}}\\{d=\frac{28}{3}}\end{array}\right.$
∴直線CD的解析式是y=-$\frac{4}{3}$x$+\frac{28}{3}$．

（3）存在點(diǎn)F，使以A、C、D、F為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形．
①當(dāng)直線CD的解析式是y=$\frac{4}{3}$x-$\frac{4}{3}$時(shí)，
設(shè)AF所在的直線的解析式是y=$\frac{4}{3}x$+m，
∵點(diǎn)A的坐標(biāo)是（8，0），
∴$\frac{4}{3}×8+m=0$，
解得m=-$\frac{32}{3}$，
∴AF所在的直線的解析式是y=$\frac{4}{3}x$-$\frac{32}{3}$．
Ⅰ、如圖1，，
設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)是（p，$\frac{4}{3}p-\frac{32}{3}$），
則DF的中點(diǎn)E的坐標(biāo)是（$\frac{p+1}{2}，\frac{2}{3}p-\frac{16}{3}$），
∵點(diǎn)A的坐標(biāo)是（8，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)是（4，4），
∴AC的中點(diǎn)E的坐標(biāo)是（6，2），
∴$\frac{p+1}{2}$=6，
解得p=11，
∴點(diǎn)F的坐標(biāo)是（11，4）．
Ⅱ、如圖2，，
設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)是（p，$\frac{4}{3}p-\frac{32}{3}$），
則CF的中點(diǎn)G的坐標(biāo)是（$\frac{p+4}{2}，\frac{2}{3}p-\frac{10}{3}$），
∵點(diǎn)A的坐標(biāo)是（8，0），點(diǎn)D的坐標(biāo)是（1，0），
∴AD的中點(diǎn)G的坐標(biāo)是（4.5，0），
∴$\frac{p+4}{2}=4.5$，
解得p=5，
∴點(diǎn)F的坐標(biāo)是（5，-4）．
Ⅲ、如圖3，當(dāng)CF∥AD時(shí)，，
設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)是（p，4），
則AF的中點(diǎn)E的坐標(biāo)是（$\frac{p+8}{2}$，2），
∵點(diǎn)D的坐標(biāo)是（1，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)是（4，4），
∴CD的中點(diǎn)E的坐標(biāo)是（2.5，2），
∴$\frac{p+8}{2}$=2.5，
解得p=-3，
∴點(diǎn)F的坐標(biāo)是（-3，4）．

②當(dāng)直線CD的解析式是y=-$\frac{4}{3}$x+$\frac{28}{3}$時(shí)，
設(shè)AF所在的直線的解析式是y=-$\frac{4}{3}x$+n，
∵點(diǎn)A的坐標(biāo)是（8，0），
∴$-\frac{4}{3}×8+n=0$，
解得n=$\frac{32}{3}$，
∴AF所在的直線的解析式是y=-$\frac{4}{3}x$+$\frac{32}{3}$．
Ⅰ、如圖4，，
設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)是（p，-$\frac{4}{3}p+\frac{32}{3}$），
則DF的中點(diǎn)M的坐標(biāo)是（$\frac{p+7}{2}，-\frac{2}{3}p+\frac{16}{3}$），
∵點(diǎn)A的坐標(biāo)是（8，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)是（4，4），
∴AC的中點(diǎn)M的坐標(biāo)是（6，2），
∴$\frac{p+7}{2}$=6，
解得p=5，
∴點(diǎn)F的坐標(biāo)是（5，4）．
Ⅱ、如圖5，，
設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)是（p，-$\frac{4}{3}p+\frac{32}{3}$），
則CF的中點(diǎn)N的坐標(biāo)是（$\frac{p+4}{2}$，$-\frac{2}{3}p+\frac{22}{3}$），
∵點(diǎn)A的坐標(biāo)是（8，0），點(diǎn)D的坐標(biāo)是（7，0），
∴AD的中點(diǎn)N的坐標(biāo)是（7.5，0），
∴$\frac{p+4}{2}=7.5$，
解得p=11，
∴點(diǎn)F的坐標(biāo)是（11，-4）．
Ⅲ、如圖6，當(dāng)CF∥AD時(shí)，，
設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)是（p，4），
則AF的中點(diǎn)E的坐標(biāo)是（$\frac{p+8}{2}$，2），
∵點(diǎn)D的坐標(biāo)是（7，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)是（4，4），
∴CD的中點(diǎn)E的坐標(biāo)是（5.5，2），
∴$\frac{p+8}{2}$=5.5，
解得p=3，
∴點(diǎn)F的坐標(biāo)是（3，4）．
綜上，可得
點(diǎn)F的坐標(biāo)是（11，4），（5，-4），（-3，4），（5，4），（11，-4）或（3，4）．

點(diǎn)評(píng) （1）此題主要考查了一次函數(shù)綜合題，考查了分析推理能力，考查了分類(lèi)討論思想的應(yīng)用，考查了數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，考查了從已知函數(shù)圖象中獲取信息，并能利用獲取的信息解答相應(yīng)的問(wèn)題的能力．
（2）此題還考查了直線解析式的求法，以及一元一次方程的求解方法，要熟練掌握．
（3）此題還考查了平行四邊形的性質(zhì)和應(yīng)用，要熟練掌握．