Question

20．已知AB是⊙O的直徑，弦AC與AB的夾是30°，過點(diǎn)C的切線交AB的延長線于點(diǎn)D，如果OD=30cm，則劣弧$\widehat{AC}$的長是10πcm．

Answer 1

分析 連接OC，如圖，根據(jù)切線的性質(zhì)得∠OCD=90°，再利用等腰三角形的性質(zhì)得∠OCA=∠A=30°，則利用三角形外角性質(zhì)可得∠COD=60°，于是利用含30度的直角三角形的三邊的關(guān)系可計算出OC，然后利用弧長公式可計算劣弧$\widehat{AC}$的長．

解答 解：連接OC，如圖，
∵CD為切線，
∴OC⊥CD，
∴∠OCD=90°，
∵OC=OA，
∴∠OCA=∠A=30°，
∴∠COD=∠OCA+∠A=60°，
在Rt△OCD中，OC=$\frac{1}{2}$OD=$\frac{1}{2}$×30=15，
而∠AOC=120°，
∴劣弧$\widehat{AC}$的長=$\frac{120•π•15}{180}$=10π（cm）．
故答案為10π．

點(diǎn)評 本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑．若出現(xiàn)圓的切線，必連過切點(diǎn)的半徑，構(gòu)造定理圖，得出垂直關(guān)系．也考查了弧長公式．