Question

7．如圖，邊長為5的菱形ABCD如圖所示放置在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A在x軸正半軸上，點(diǎn)D在x軸負(fù)半軸上，點(diǎn)B（0，4）．
（1）求AB所在直線的解析式；
（2）如直線l經(jīng)過點(diǎn)C且與直線y=x平行，點(diǎn)P（0，t）是y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．
①當(dāng)點(diǎn)P在線段OB上（點(diǎn)P不與O、B重合），過點(diǎn)P作平行于x軸的直線分別交AB于M、交直線l于N．設(shè)線段MN的長度為d，求d關(guān)于t的函數(shù)解析式，并寫出它的定義域；
②當(dāng)點(diǎn)P在y軸正半軸上，如△PCD是等腰三角形，求t的值．

Answer 1

分析 （1）利用菱形的性質(zhì)及B點(diǎn)坐標(biāo)，在Rt△AOB中由勾股定理可求得OA的長，則可求得A點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得直線AB解析式；
（2）①由菱形的性質(zhì)可求得C點(diǎn)坐標(biāo)，則可求得直線l的解析式，從而可用t分別表示出M、N的坐標(biāo)，則可得到d關(guān)于t的函數(shù)解析式，結(jié)合P在線段OB上可求得t的取值范圍；
②用t可分別表示出PC、PD的長，結(jié)合C、D坐標(biāo)可求得CD的長，分PD=PC、PD=CD和PC=CD三種情況可分別得到關(guān)于t的方程，可求得t的值．

解答 解：
（1）∵B（0，4），
∴OB=4，
∵四邊形ABCD為菱形，且邊長為5，
∴AB=AD=BC=CD=5，
在Rt△AOB中，由勾股定理可得OA=3，
∴A（3，0），
設(shè)AB所在直線解析式為y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=4}\\{3k+b=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{4}{3}}\\{b=4}\end{array}\right.$，
∴AB所在直線的解析式為y=-$\frac{4}{3}$x+4；
（2）①由題意可知C（-5，4），
∵直線l經(jīng)過點(diǎn)C且與直線y=x平行，
∴可設(shè)直線l解析式為y=x+m，
∴4=-5+m，解得m=9，
∴直線l解析式為y=x+9，
∵過點(diǎn)P作平行于x軸的直線分別交AB于M、交直線l于N，且P（0，t），
∴M、N點(diǎn)的縱坐標(biāo)為t，
在y=-$\frac{4}{3}$x+4中，令y=t，可解得x=1-$\frac{3}{4}$t，在y=x+9中，令y=t可得x=t-9，
∴d=1-$\frac{3}{4}$t-（t-9）=10-$\frac{3}{4}$t，
∵點(diǎn)P在線段OB上（點(diǎn)P不與O、B重合），
∴0＜t＜4；
②∵A（3，0），AD=5，
∴D（-2，0），且C（-5，4），P（0，t），
∴PC²=5²+（t-4）²=t²-8t+41，PD²=2²+t²=t²+4，CD²=（-5+2）²+4²=25，
∵△PCD為等腰三角形，
∴有PC=PD、PC=CD和PD=CD三種情況，
當(dāng)PC=PD時(shí)，則有t²-8t+41=t²+4，解得t=$\frac{37}{8}$；
當(dāng)PC=CD時(shí)，則有t²-8t+41=25，解得t=4；
當(dāng)PD=CD時(shí)，則t²+4=25，解得t=$\sqrt{21}$或t=-$\sqrt{21}$（舍去）；
綜上可知當(dāng)△PCD是等腰三角形時(shí)，t的值為$\frac{37}{8}$或4或$\sqrt{21}$．

點(diǎn)評 本題為一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及菱形的性質(zhì)、勾股定理、待定系數(shù)法、函數(shù)圖象的交點(diǎn)、等腰三角形的性質(zhì)、方程思想及分類討論思想等知識．在（1）中求得A點(diǎn)坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵，在（2）①中用t表示出M、N的橫坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵，在（2）②中利用t分別表示出PD、PC和CD的長是解題的關(guān)鍵，注意分情況討論．本題考查知識點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，難度適中．