Question

3．矩形ABCD中，AB=4，AD=3，以AB為直徑在矩形內(nèi)作半圓．DE切⊙O于點(diǎn)E（如圖），則tan∠CDF的值為$\frac{5}{12}$．

Answer 1

分析 根據(jù)矩形的面積得∠A=∠B=∠C=90°，CD=AB=4，AD=BC=3，則可判斷AD、BC與半圓相切，根據(jù)切線長定理得到DA=DE=3，BF=EF，設(shè)CF=x，則BF=EF=3-x，在Rt△DCF中利用勾股定理得到x²+4²=（6-x）²，解得x=$\frac{5}{3}$，然后根據(jù)正切的定義求解．

解答 解：∵四邊形ABCD為矩形，
∴∠A=∠B=∠C=90°，CD=AB=4，AD=BC=3，
∵AB為直徑，
∴AD、BC與半圓相切，
而DE切⊙O于點(diǎn)E，
∴DA=DE=3，BF=EF，
設(shè)CF=x，則BF=EF=3-x，
∴DF=DE+EF=6-x，
在Rt△DCF中，∵CF²+CD²=DF²，
∴x²+4²=（6-x）²，解得x=$\frac{5}{3}$，
∴tan∠CDF=$\frac{\frac{5}{3}}{4}$=$\frac{5}{12}$．
故答案為$\frac{5}{12}$．

點(diǎn)評 本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑．運(yùn)用切線的性質(zhì)來進(jìn)行計算或論證，常通過作輔助線連接圓心和切點(diǎn)，利用垂直構(gòu)造直角三角形解決有關(guān)問題．也考查了解直角三角形．