Question

15．如圖，ABCD是一四邊形小魚塘，邊AD⊥CD，從AC分開后，變成兩個相似的三角形小魚塘，AC⊥BC，若AB，AC的長是方程x²-25x+150=0的根．
（1）求CD的長；
（2）求四邊形ABCD的面積．

Answer 1

分析 （1）先利用因式分解法解方程x²-25x+150=0得到AB=15，AC=10，接著在Rt△ACB中利用勾股定理計算出BC=5$\sqrt{5}$，分類討論：當△ADC∽△ACB時，利用相似比可計算出CD=$\frac{10\sqrt{5}}{3}$；當△ADC∽△BCA，利用相似比可計算出CD=$\frac{50}{3}$；
（2）根據(jù)勾股定理，在Rt△ADC中，當CD=$\frac{10\sqrt{5}}{3}$，計算出AD=$\frac{50}{3}$，當CD=$\frac{50}{3}$時，計算出AD=$\frac{10\sqrt{5}}{3}$，然后根據(jù)三角形面積公式，利用四邊形ABCD的面積=S_△ADC+S_△ABC進行計算．

解答 解：（1）∵AD⊥CD，AC⊥BC，
∴∠D=∠ACB=90°，
解方程x²-25x+150=0得x₁=10，x₂=15，
∴AB=15，AC=10，
在Rt△ACB中，BC=$\sqrt{A{B}^{2}-A{C}^{2}}$=$\sqrt{1{5}^{2}-1{0}^{2}}$=5$\sqrt{5}$，
當△ADC∽△ACB時，$\frac{CD}{BC}$=$\frac{AC}{AB}$，即$\frac{CD}{5\sqrt{5}}$=$\frac{10}{15}$，解得CD=$\frac{10\sqrt{5}}{3}$，
當△ADC∽△BCA，即$\frac{CD}{CA}$=$\frac{AC}{AB}$，即$\frac{CD}{10}$=$\frac{10}{15}$，解得CD=$\frac{50}{3}$，
即CD的長為$\frac{10\sqrt{5}}{3}$或$\frac{50}{3}$；
（2）在Rt△ADC中，當CD=$\frac{10\sqrt{5}}{3}$，AD=$\sqrt{A{C}^{2}-C{D}^{2}}$=$\frac{50}{3}$，
當CD=$\frac{50}{3}$時，AD=$\sqrt{A{C}^{2}-C{D}^{2}}$=$\frac{10\sqrt{5}}{3}$，
所以四邊形ABCD的面積=S_△ADC+S_△ABC=$\frac{1}{2}$×$\frac{50}{3}$×$\frac{10\sqrt{5}}{3}$+$\frac{1}{2}$×10×5$\sqrt{5}$=$\frac{475\sqrt{5}}{9}$．

點評 本題考查了相似三角形的應用：利用相似三角形的對應邊的比相等計算線段的長．注意分類討論思想的運用．