Question

3．如圖，四邊形ABCO是平行四邊形，OA=2，AB=6，點C在x軸的負(fù)半軸上，將?ABCO繞點O順時針旋轉(zhuǎn)α°（0＜α＜90°）得到?DEFO，點A的對應(yīng)點點D恰好落在x軸的正半軸上，且DE經(jīng)過點A．
（1）若點F在反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（x＜0）的圖形上，求α及k的值．
（2）求旋轉(zhuǎn)過程中?ABCO掃過的面積．

Answer 1

分析 （1）作FG⊥x軸于G．求出點F的坐標(biāo)即可解決問題．
（2）由圖象可知，平行四邊形ABCO掃過的面積可由扇形OCF、平行四邊形ABCO、扇形OAD的面積之和減去△OAD的面積得到，分別計算即可．

解答 解：（1）作FG⊥x軸于G．
∵四邊形ABCO是平行四邊形，
∴AB∥CO，
∵OD∥AB，∠AOD=α°，
∴∠BAO=∠DOA=α°，
∵?ABCO繞點O順時針旋轉(zhuǎn)α°（0＜α＜90°）得到?DEFO，
∴∠BAO=∠ODA=α°，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA=α°，
在△AOD中，α°+α°+α°=180°，
∴α=60，
∵OF=6，
∴OG=3，F(xiàn)G=3$\sqrt{3}$，
∵F在第二象限，
∴F（-3，3$\sqrt{3}$），
∵y=$\frac{k}{x}$經(jīng)過點F，
∴k=-9$\sqrt{3}$．

（2）由圖象可知，平行四邊形ABCO掃過的面積可由扇形OCF、平行四邊形ABCO、扇形OAD的面積之和減去△OAD的面積得到，
∵OC=6，α=60，
∴S_扇形OCF=$\frac{60•π•{6}^{2}}{360}$=6π，
∵BC=2，
∴平行四邊形ABCO的BC邊上的高為$\sqrt{3}$，
∴S_{平行四邊形ABCO}=6$\sqrt{3}$，
∵OA=2，
∴S_扇形OAD=$\frac{60•π•{2}^{2}}{360}$=$\frac{2}{3}$π，S_△AOD=$\frac{1}{2}$•2$•\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$，
∴S=6$π+6\sqrt{3}$+$\frac{2}{3}$π-$\sqrt{3}$=$\frac{20}{3}$π+5$\sqrt{3}$．

點評 本題考查反比例函數(shù)的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)變換、平行四邊形的性質(zhì)、扇形的面積公式、坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用分割法求面積，屬于中考常考題型．