Question

14．如圖（1），在平面直角坐標(biāo)系中，直線(xiàn)AB、AC分別與x軸相交于點(diǎn)B、C，tan∠ACB=$\frac{3}{5}$，直線(xiàn)AB的解析式為y=x+7，AC與y軸交于點(diǎn)E（0，$\sqrt{34}$），AB與y軸交于點(diǎn)F．
（1）直接填空：直線(xiàn)AC的函數(shù)解析式為y=-$\frac{3}{5}$x+$\sqrt{34}$，原點(diǎn)O到直線(xiàn)AC的距離=5；
（2）如圖2，平行于y軸的直線(xiàn)1從點(diǎn)B出發(fā)，沿x軸向終點(diǎn)O移動(dòng)，速度為1單位/秒，移動(dòng)過(guò)程中直線(xiàn)1分別與直線(xiàn)AB和x軸交于點(diǎn)K、S，以KS為一邊，作正方形KSMN，使該正方形與原點(diǎn)O在直線(xiàn)l的同側(cè)，設(shè)移動(dòng)時(shí)間為t，求出正方形KSMN與△ABC重疊部分的面積S與移動(dòng)的時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量的取值范圍；
（3）已知點(diǎn)H（5，0），在△ABC的邊上取兩點(diǎn)P，Q，是否存在O，P，Q為頂點(diǎn)的三角形與△OHP全等，且這兩個(gè)三角形在OP的異側(cè)？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有符合題意的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)三角函數(shù)先求OC的長(zhǎng)，寫(xiě)出C的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求直線(xiàn)AC的解析式，作垂線(xiàn)段OG，利用三角函數(shù)求OG的長(zhǎng)即可；
（2）分三種情況：
①先計(jì)算當(dāng)N在直線(xiàn)AC上時(shí)，如圖4，求出t的值；當(dāng)0≤t≤$\frac{21+5\sqrt{34}}{11}$時(shí)，如圖3，正方形KSMN與△ABC重疊部分的面積是正方形KSMN，②當(dāng)K與A重合時(shí)，如圖5，求出此時(shí)t的值，當(dāng)$\frac{21+5\sqrt{34}}{11}$＜t≤$\frac{21+5\sqrt{34}}{8}$時(shí)，如圖6，正方形KSMN與△ABC重疊部分的面積是五邊形GKSMH的面積，③當(dāng)$\frac{21+5\sqrt{34}}{8}$＜t≤7時(shí)，如圖7，設(shè)KS與AC交于G，MN于AC交于H，則正方形KSMN與△ABC重疊部分的面積是梯形GSMH的面積，分別表示其面積S即可；
（3）存在兩種情況：①通過(guò)觀察可以發(fā)現(xiàn)Q點(diǎn)與點(diǎn)G重合，通過(guò)直線(xiàn)求出點(diǎn)P坐標(biāo)即可．
②如圖9，P與E重合，P的坐標(biāo)就是點(diǎn)E的坐標(biāo)．

解答 解：（1）如圖1，∵E（0，$\sqrt{34}$），
∴OE=$\sqrt{34}$，
Rt△OEC中，tan∠ACB=$\frac{3}{5}=\frac{OE}{OC}$，
∴$\frac{3}{5}=\frac{\sqrt{34}}{OC}$，
∴OC=$\frac{5\sqrt{34}}{3}$，
∴C（$\frac{5\sqrt{34}}{3}$，0），
設(shè)直線(xiàn)AC的解析式為：y=kx+b，
把E（0，$\sqrt{34}$）和C（$\frac{5\sqrt{34}}{3}$，0）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{b=\sqrt{34}}\\{\frac{5\sqrt{34}}{3}k+b=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{3}{5}}\\{b=\sqrt{34}}\end{array}\right.$，
∴直線(xiàn)AC的解析式為：y=-$\frac{3}{5}$x+$\sqrt{34}$，
過(guò)O作OG⊥AC于G，
在Rt△OEC中，由勾股定理得：EC=$\sqrt{（\sqrt{34}）^{2}+（\frac{5\sqrt{34}}{3}）^{2}}$=$\frac{34}{3}$，
在Rt△OGC中，sin∠ACB=$\frac{OE}{EC}=\frac{OG}{OC}$，
∴$\frac{\sqrt{34}}{\frac{34}{3}}$=$\frac{OG}{\frac{5\sqrt{34}}{3}}$，
∴OG=5，
則原點(diǎn)O到直線(xiàn)AC的距離為5，
故答案為：y=-$\frac{3}{5}$x+$\sqrt{34}$；5；

（2）分三種情況：
當(dāng)x=0時(shí)，y=7，
當(dāng)y=0時(shí)，x=-7，
∴B（-7，0），F(xiàn)（0，7），
∴OB=OF=7，
∴△OBF是等腰直角三角形，
∴∠FBO=45°，
∵四邊形KSMN是正方形，
∴∠KSM=90°，KS=SM，
∴△ASK是等腰直角三角形，
∴AS=KS=t，
當(dāng)M與O重合時(shí)，如圖2，
由AM=7得：2t=7，
t=3.5，
①當(dāng)N在直線(xiàn)AC上時(shí)，如圖4，
∴BS=KS=SM=t，
∴MC=OB+OC-2t=7+$\frac{5\sqrt{34}}{3}$-2t，
tan∠ACB=$\frac{3}{5}=\frac{MN}{MC}$，
∴$\frac{3}{5}$=$\frac{t}{7+\frac{5\sqrt{34}}{3}-2t}$，
t=$\frac{21+5\sqrt{34}}{11}$，
當(dāng)0≤t≤$\frac{21+5\sqrt{34}}{11}$時(shí)，如圖3，正方形KSMN與△ABC重疊部分的面積是正方形KSMN，
∴S=S_{正方形KSMN}=t²，
②當(dāng)K與A重合時(shí)，如圖5，
則$\left\{\begin{array}{l}{y=x+7}\\{y=-\frac{3}{5}x+\sqrt{34}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{-35+5\sqrt{34}}{8}}\\{y=\frac{21+5\sqrt{34}}{8}}\end{array}\right.$，
∴t=BS=AS=$\frac{21+5\sqrt{34}}{8}$，
當(dāng)$\frac{21+5\sqrt{34}}{11}$＜t≤$\frac{21+5\sqrt{34}}{8}$時(shí)，如圖6，正方形KSMN與△ABC重疊部分的面積是五邊形GKSMH的面積，
MC=7+$\frac{5\sqrt{34}}{3}$-2t，
tan∠ACB=$\frac{MH}{CM}=\frac{3}{5}$，
∴MH=$\frac{3}{5}$CM=$\frac{3}{5}$（7+$\frac{5\sqrt{34}}{3}$-2t）=$\frac{21}{5}+\sqrt{34}-\frac{6}{5}t$，
∴NH=t-MH=$\frac{11}{5}t-\frac{21}{5}-\sqrt{34}$，
∵KN∥SM
∴∠NGH=∠ACB
∴tan∠NGH=$\frac{NH}{GN}=\frac{3}{5}$，
∴GN=$\frac{5}{3}NH$=$\frac{11}{3}t-7-\frac{5\sqrt{34}}{3}$，
∴S=S_{正方形KSMN}-S_△GNH，
=t²-$\frac{1}{2}$GN•NH，
=t²-$\frac{1}{2}$（$\frac{11}{3}t-7-\frac{5\sqrt{34}}{3}$）（$\frac{11}{5}t-\frac{21}{5}-\sqrt{34}$），
=-$\frac{91}{30}{t}^{2}+\frac{462+110\sqrt{34}}{30}t-\frac{1291+210\sqrt{34}}{30}$；
③當(dāng)$\frac{21+5\sqrt{34}}{8}$＜t≤7時(shí)，如圖7，設(shè)KS與AC交于G，MN于AC交于H，則正方形KSMN與△ABC重疊部分的面積是梯形GSMH的面積，
MC=7+$\frac{5\sqrt{34}}{3}$-2t，MH=$\frac{21}{5}+\sqrt{34}$-$\frac{6}{5}t$，
同理得：SG=$\frac{3}{5}（7+\frac{5\sqrt{34}}{3}-t）$=$\frac{21}{5}+\sqrt{34}-\frac{3}{5}t$，
∴S=S_梯形GSMH=$\frac{1}{2}$（MH+SG）•SM=$\frac{1}{2}$（$\frac{21}{5}+\sqrt{34}-\frac{6t}{5}+\frac{21}{5}+\sqrt{34}-\frac{3t}{5}$）•t=-$\frac{9}{10t}{t}^{2}+（\frac{21}{5}+\sqrt{34}）t$；
綜上所述，S與移動(dòng)的時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式為：
①S=t²（0≤t≤$\frac{21+5\sqrt{34}}{11}$）；
②S=-$\frac{91}{30}{t}^{2}+\frac{462+110\sqrt{34}}{30}t-\frac{1291+210\sqrt{34}}{30}$（$\frac{21+5\sqrt{34}}{11}＜t≤\frac{21+5\sqrt{34}}{8}$）；
③S=-$\frac{9}{10}{t}^{2}+（\frac{21}{5}+\sqrt{34}）t$（$\frac{21+5\sqrt{34}}{8}＜t≤7$）；
（3）存在．
①當(dāng)點(diǎn)Q在AC上時(shí)，OG=OF=5，如圖8，
∵點(diǎn)Q即為點(diǎn)G，
∴△OPQ≌△OPH，
∵F（5，0），直線(xiàn)CE解析式為：y=-$\frac{3}{5}$x+$\sqrt{34}$，
∴P（5，-3+$\sqrt{34}$）．
②當(dāng)P與E重合時(shí)，如圖9，
∴△POQ≌△POH，
∴Q（-5，0），P（0，$\sqrt{34}$）；
綜上所述，點(diǎn)P（5，-3+$\sqrt{34}$）或（0，$\sqrt{34}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題是一次函數(shù)的綜合題，考查了一次函數(shù)綜合應(yīng)用，同時(shí)題目對(duì)面積求解、全等三角形進(jìn)行考查，題目運(yùn)算較難，需要注意運(yùn)算的正確性，在計(jì)算重疊部分圖形的面積時(shí)，利用數(shù)形結(jié)合的思想，先計(jì)算特殊位置時(shí)對(duì)應(yīng)的t值，再根據(jù)圖形特點(diǎn)分類(lèi)討論．