Question

14．如圖，點O、P、Q分別是△ABC三邊的中點，分別以AP、AQ為一邊向形外作正n邊形，如：正三角形APD，正三角形AQE；正方形APDF，正方形AQEG；正五邊形APDHF，正五邊形AQEIG；正六邊形APDHJF，正六邊形AQEIKG；…連接DO，EO，PO，QO．
（1）四邊形APOQ是何種特殊四邊形？請任選一圖給出證明；
（2）如圖2，圖3，圖4，設(shè)∠FAG=α．若四邊形APOQ是矩形，請直接寫出各圖中的α值；
（3）如圖1，請?zhí)骄烤�段DO與EO的數(shù)量關(guān)系及∠DOE的度數(shù)，并說明理由；
（4）在（3）的基礎(chǔ)上，請猜想：正n邊形中線段DO與EO的數(shù)量關(guān)系及∠DOE的度數(shù)．（不必說明理由）

Answer 1

分析 （1）結(jié)論：四邊形APOQ是平行四邊形；根據(jù)三角形中位線定理即可證明．
（2）在三個圖中，根據(jù)∠FAG=360°-∠BAC-∠FAP-∠GAQ計算即可．
（3）如圖1，結(jié)論：DO=EO；∠DOE=60°．只要證明△DPO≌△OQE，推出OD=OE，∠PDO=∠QOE，∠POD=∠QEO，由∠PDO+∠POD+∠DPO=180°，
推出∠QOE+∠POD+120°+∠OPM=180°，推出∠QOE+∠POD+∠POQ=60°，由此即可證明．
（4）探究規(guī)律后發(fā)現(xiàn)DO=EO，∠DOE=$180°-\frac{360°}{n}$．

解答 解：（1）結(jié)論：四邊形APOQ是平行四邊形；
理由：如圖1中，

∵BP=PA，BO=OC，
∴PO∥AC，
∵AQ=QC，OC=OB，
∴OQ∥BA，
∴四邊形APOQ是平行四邊形．

（2）圖2中，∵∠BAC=∠FAP=∠GAQ=90°，∴α=90°；
圖3中，∵∠BAC=90°，∠FAP=∠GAQ=108°，∴α=360°-90°-2×108°=54°；
圖4中，∵∠BAC=90°，∠FAP=∠GAQ=120°，∴α=360°-90°-2×120°=30°；

（3）如圖1，結(jié)論：DO=EO；∠DOE=60°．
理由：∵△ADP，△AQE是等邊三角形，
∴DP=AP，AQ=EQ，∠APD=∠AQE=60°，
∴∠DPM=∠EQN=120°，
∵四邊形APOQ是平行四邊形，
∴AP=OQ，AQ=OP，AP∥OQ，OP∥AQ，
∴PD=OQ，OP=EQ，∠OPB=∠BAC=∠CQO=∠POQ，
∵∠DPO=∠DPM+∠BPO，∠EQO=∠EQN+∠CQO，
∴∠DPO=∠EQO，
在△DPO和△OQE中，
$\left\{\begin{array}{l}{DP=OQ}\\{∠DPO=∠EQO}\\{OP=EQ}\end{array}\right.$，
∴△DPO≌△OQE，
∴OD=OE，∠PDO=∠QOE，∠POD=∠QEO，
∵∠PDO+∠POD+∠DPO=180°，
∴∠QOE+∠POD+120°+∠OPM=180°，
∴∠QOE+∠POD+∠POQ=60°，
∴∠DOE=60°

（4）正n邊形中，DO=EO，∠DOE=$180°-\frac{360°}{n}$．

點評 本題考查四邊形綜合題、正多邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形中位線定理、平行四邊形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學知識，屬于中考壓軸題．